P1004 NOIP2000 提高组 方格取数

P1004 NOIP2000 提高组 方格取数 - 洛谷

分析

与 [[小烈送菜]] 算姐妹题了，这个辈分甚至更老一点。

如果直接按照题目，从 \(A, B\) 两点分别出发，那么有个问题就是不确定性，计算的时候不可控因素很多。

可以注意到，从 \(B\) 点往回走到 \(A\) 点，是和从 \(A\) 点再走一遍走到 \(B\) 点是等价的。
那么这道题就可以转化为两个人从 \(A\) 点同时出发，路径可以交叉，求从方格中取数的最大总和。

接下来，分类讨论一下可能的情况。假设当前第一个人在 \((x1, y1)\)，第二个人在 \((x2, y2)\)，那么在下一步，会有以下四种情况：

1. 同时向下走。
2. 同时向右走。
3. 第一个向下走，第二个向右走。
4. 第一个向右走，第二个向下走。

同理，第一个人在 \((x1, y1)\)，第二个人在 \((x2, y2)\) 的情况，也可以由以下四个位置到达：

1. \((x1 - 1, y1), (x2 - 1, y2)\)
2. \((x1, y1 - 1),(x2, y2 - 1)\)
3. \((x1 - 1, y1),(x2, y2 - 1)\)
4. \((x1, y1 - 1),(x2 - 1, y2)\)

分析到这个地方，这题已经很好做了。根据上面的第一种讨论，可以写出一个记忆化搜索；而根据第二种讨论，很容易写出一种四维 DP。

另外，根据题意，同一个方格最多只能取一次，所以要判断坐标重叠的情况。

代码

DP 写法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 10;
int n;
int graph[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	while (true) {
		int x, y, val;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);
		if (x == 0 && y == 0 && val == 0) break;
		graph[x][y] = val;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			for (int k = 1; k <= n; k++) {
				for (int l = 1; l <= n; l++) {
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i - 1][j][k - 1][l] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l)); // 坐标判重，相同坐标只计算一次。
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j - 1][k][l - 1] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l));
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i - 1][j][k][l - 1] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l));
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j - 1][k - 1][l] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l));
				}
			}
		}
	}
	printf("%d", f[n][n][n][n]);
	return 0;
}

记忆化搜索

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 10;
int n;
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];
int val[maxn][maxn];

inline bool inArea(int x, int y) {
	return x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n;
}

int dx1[4] = {1, 0, 1, 0};
int dy1[4] = {0, 1, 0, 1};
int dx2[4] = {1, 0, 0, 1};
int dy2[4] = {0, 1, 1, 0};
int dfs(int _x1, int _y1, int _x2, int _y2) {
	if (f[_x1][_y1][_x2][_y2] != -1) return f[_x1][_y1][_x2][_y2];
	if (_x1 == n && _y1 == n && _x2 == n && _y2 == n) return 0;
	int maxv = -1;
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		int vx1 = _x1 + dx1[i], vy1 = _y1 + dy1[i];
		int vx2 = _x2 + dx2[i], vy2 = _y2 + dy2[i];
		if (!inArea(vx1, vy1) || !inArea(vx2, vy2)) continue;
		maxv = max(maxv, dfs(vx1, vy1, vx2, vy2) + val[vx1][vy1] + val[vx2][vy2] * (vx1 != vx2 || vy1 != vy2));
	}
	f[_x1][_y1][_x2][_y2] = maxv;
	return f[_x1][_y1][_x2][_y2];
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	memset(f, -1, sizeof(f)); // 注意初始化为 -1, 因为可能出现取的数为 0 的情况
	while (true) {
		int x, y, v;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
		if (x == 0 && y == 0 && v == 0) break;
		val[x][y] = v;
	}
	dfs(1, 1, 1, 1);
	printf("%d", f[1][1][1][1] + val[1][1]); // 搜索时没有算 (1, 1)，在这里加上
	return 0;
}