P10161 题解

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考虑这样一个字符串如何计算它有多少个子串为合法的括号序列：

()(()()())((()))

答案为 \(\frac{3 \times 4}{2} + \frac{3 \times 4}{2} + \frac{1 \times 2}{2} + \frac{1 \times 2}{2} = 14\)。

这个时候，我们意识到一个重要结论：只有不在括号内或者在同一个括号内的括号，才能组合计算贡献。假设有 \(n\) 个括号能组合计算贡献，它的贡献是 \(\frac{n \times n+1}{2}\)。

这很好理解，比如：

(()()())

中间的三对括号被包围在最外面的括号当中，它们三个的贡献之和为 \(\frac{3 \times 2}{2} = 3\)。

最外层的括号没有在任何括号内部，所以它的贡献就是 \(\frac{1 \times 2}{2} = 1\)。

知道了这个以后，直接和其他题解一样 dp 之后构造就好了，如果长度不够的话，直接在后面加右括号，显然不会对答案产生任何影响。