题解：P10240 [THUSC 2021] 搬东西

题目大意

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和一个正整数 \(m\)，现在按下述策略删除 \(a\) 中的数字：

选出一个下标序列 \(p\)，使得其：

1. 单调递增

2. \(\sum_{x\in p}a_x\leq m\)

3. 元素个数最多

4. 字典序是满足上述条件的序列中最大的

然后删除 \(a\) 中下标在 \(p\) 中的元素。问按上述策略进行几次删除会使 \(a\) 为空。

\(n\leq5\times10^4,m\leq10^9\)。

分析

如果没有第 4 条限制，那么只需要用 set 维护所有数字，然后贪心选择最小的元素即可。

如果有第 4 条限制，通过这样方法得到的元素个数也一定是最多的，因此一定选出的下标序列大小已经确定。

考虑从前往后确定该下标序列中的元素，对于当前位置，考虑二分，那么元素 \(id\) 能放在当前位置，当且仅当下标 \(\geq id\) 且还存在的元素中，最小的 \(k\) 个元素之和 \(\leq m\)。找到 \(id\) 之后，将 \(id\) 删掉，继续二分下一个元素。因此需要支持单点修改，考虑使用树套树维护这个东西，外层用树状数组或线段树维护下标区间，内层用权值线段树维护当前区间的元素的权值。

单点修改时，在 \(\log\) 个区间内同时修改。查询时，将询问拆为 \(\log\) 个区间，然后将这 \(\log\) 个区间的权值线段树合并进行查询。当然事实上你不需要合并，只需要同时维护 \(\log\) 个根节点，正常权值线段树找左子树大小时，就将这 \(\log\) 个根的左子树大小加起来即可。这是树套树的一种常见套路，全世界大概只有我一个不会。

总复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^3n)\)。