快速幂

#include <iostream>

using namespace std;
#define LL long long

LL get_pow(LL x, LL n)//快速幂
{
    LL ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans = x*ans;
        }
        x = x*x;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL a, b;
    while(cin >> a >> b){
        cout << get_pow(a, b) << endl;
    }
    return 0;
}

 

      &  和 >>  

 

　　& 运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。

 

　　>> 运算比较单纯, 二进制去掉最后一位

LL get_pow(LL x, LL n)快速幂
{
    LL ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)//判断是否为奇数 相当于 n % 2
        {
            ans = x*ans;
        }
        x = x*x;
        n>>=1;//相当于 n /= 2
    }
    return ans;
}

递归

 

public static long pow(long x, int n) {
        if(n == 0)
            return 1;
        else if((n&1) == 0) //偶数
            return pow(x * x, n / 2);
        else return pow(x * x, n / 2) * x; // 奇数
        
    }

 

 

 

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

  把b转换成二进制数。 该二进制数第i位的权为

         

 

  例如:

         

 

 

  11 的二进制是 1011

  

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

 

  因此，我们将a¹¹转化为算

          

 

 

  看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。

 

  以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。

  我们不断的让 x*=x 目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

 

　　 其中要理解 x*=x 这一步，看  x *x = x^2 ,下一步再乘，就是x^2 * x^2 == x^4,然后同理  

       x^4 * x^4 == x^8

 

  x--> x^2--> x^4--> x^8 --> x^16--> x^32.......指数正是 2^i ，

 

  再看上  面的例子，

   a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，

  这三项解决了

快速幂取模

利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c

ll get_pow(ll x, ll n){
    ll ans = 1;
    while(n){
        if(n&1){
            // ans = x*ans%1000;
            ans = (ans%1000*x)%1000;
        }
        x = (x%1000*x)%1000;
        n >>= 1;
    }
    return ans%1000;
}