RNN数学推导

循环神经网络（RNN）是一种特殊类型的神经网络，它在输入之间保持一种状态，并使用该状态来处理序列数据。下面是RNN的数学推导。

假设我们有一个输入序列\(x = (x_1, x_2, ..., x_T)\)，其中每个\(x_t\)都是一个向量，\(y\)是输出序列，\(h_t\)是RNN在处理\(x_t\)时的隐藏状态。RNN的隐藏状态\(h_t\)通过以下递归方式计算：

\[h_t = f(Ux_t + Wh_{t-1}) \]

其中，\(U\)和\(W\)是权重矩阵，\(f\)是激活函数，通常是tanh或ReLU。\(h_0\)通常被初始化为全零向量。

在计算完所有隐藏状态后，我们可以通过一个输出层来预测输出序列\(y\)，该输出层可以是全连接层，也可以是softmax层，具体取决于任务的要求。例如，在情感分类任务中，我们可能只需要一个全连接层来预测情感标签。

输出层的计算方式如下：

\[y_t = g(Vh_t) \]

其中，\(V\)是权重矩阵，\(g\)是激活函数。在分类任务中，\(g\)通常是softmax函数。

现在我们可以通过反向传播算法来训练RNN，其中损失函数\(L\)定义为预测输出\(y\)与实际输出\(\hat{y}\)之间的交叉熵：

\[L = -\sum_{t=1}^{T}\hat{y}_t\log(y_t) \]

在反向传播过程中，我们需要计算损失函数对权重矩阵\(U\)、\(W\)和\(V\)的梯度。假设\(\delta_t\)表示损失函数对\(h_t\)的梯度，则：

\[\delta_T = \frac{\partial L}{\partial y_T} \odot g'(Vh_T) \]

\[\delta_t = \left(\frac{\partial L}{\partial y_t} + \frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_t}\right) \odot f'(Ux_t + Wh_{t-1}) \]

其中，\(\odot\)表示向量点积，\(g'\)和\(f'\)分别是\(g\)和\(f\)的导数。我们可以使用这些梯度来更新权重矩阵，例如：

\[V \leftarrow V - \eta\sum_{t=1}^{T}\delta_t h_t^T \]

\[U \leftarrow U - \eta\sum_{t=1}^{T}\delta_t x_t^T \]

\[W \leftarrow W - \eta\sum_{t=1}^{T}\delta_t h_{t-1}^T \]

其中，\(\eta\)是学习率。这些更新将使网络逐步调整权重，以最小化损失函数并提高预测精度。