平方和平方根快速算法及其原理

平方快速算法

平方快速算法基于完全平方公式
如：
33²
= (30+3)²
= 30² + 2 * 30 * 3 + 3²
= 900 + 180 + 9
= 1089

平方根快速算法

以下是基于平方根倒数快速算法思想的日常生活快速估算平方根方法：
其思想源自平方快速算法的逆运算，即先计算整数部分a，再用x²－a²的差值计算b
∵ x = (a+b)
∴ x² = (a+b)² = a²+2ab+b²
先找出最大的a²，之后x²－a² = 2ab+b²
b(2a+b) = x²－a²
b = (x²－a²)/(2a+b) //这时b应该是小于1的，为方便计算近似值，我们把右侧分母中的b换成1
b = (x²－a²)/(2a+1) //这样就可以求出近似值了
然后a+b就是近似值了，经实验这种算法的精确度是小数点后1位，如果有更高精度要求，请参照以下第三步进行牛顿法迭代精度，迭代一次后一般精度为小数点后3位。

快速估算平方根三步法

适用场景：日常心算或简单笔算，无需计算器，适用于精度要求不高的场合。

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步骤1：找基准数

找到最大的整数a，使得a² ≤ 目标数x。
示例：计算√50 → a=7（因为7²=49 ≤50 <8²=64）

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步骤2：线性插值估算

计算差值d = x - a²，用公式快速估算：
√x ≈ a + d/(2n+1)
示例：
d =50-49=1 → √50 ≈7 + 1/(2×7+1)=7+1/15≈7.07（实际值≈7.071）

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步骤3（可选）：牛顿迭代提升精度

用一次牛顿法优化结果：
新估计 = (估计值 + x/估计值)/2
示例：
(7.07 +50/7.07)/2 ≈(7.07+7.072)/2≈7.071（误差<0.001）

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其他示例验证

1. 估算√20

   • 基准数a=4（4²=16≤20<25）
   • d=20-16=4 → √20≈4 +4/(2×4+1)=4+4/9≈4.44（实际≈4.472）
   • 迭代：4.44 +20/4.44≈(4.44+4.50)/2≈4.47（误差≈0.002）

2. 估算√100

   • 基准数n=10（10²=100）
   • d=0 → √100=10（无需计算）

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核心思想总结

1. 快速定位区间：利用完全平方数确定基准值a。
2. 线性修正误差：通过差值d在区间内线性插值，计算平方根的增长趋势。
3. 按需迭代优化：一次牛顿法即可将误差缩小至可忽略范围。

如需更高精度可继续迭代。