从lca到树链剖分 bestcoder round#45 1003
bestcoder round#45 1003 题，给定两个点，要我们求这两个点的树上路径所经过的点的权值是否出现过奇数次。
如果是一般人，那么就是用lca求树上路径，然后判断是否出现过奇数次（用异或），高手就不这么做了，直接树链剖分。
为什么不能用lca，因为如果有树退化成链，那么每次询问的复杂度是O(n)， 那么q次询问的时间复杂度是O(qn)
什么是树链剖分呢？ 就是把树的边分成轻链和重链
http://blog.sina
.com.cn/s/blog_6974c8b20100zc61.html
http://www.cnblogs.com/BLADEVIL/p/3479713.html
这两个博客写的很好了
剖分后的树有如下性质：
1、如果（u，v)为轻边， 那么 size[v]*2<size[u]
2、从根到某一点的路径上的轻链，重链的个数不大于logn
所以我们可以用线段树来维护这些链，这样如果 要得到任意两点树上路径的信息，那么只要访问线段树，那么时间复杂度只要4logn*logn
第一次dfs进行树链剖分，求出了轻链和重链
第二次dfs对树的结点进行了重新编号（结点的编号就是在线段树中区间中的一点）， 重链上的结点的编号是连续的
那么重链上的点在线段树中的区间是连续的。
那么要询问树上任意两点路径权值的最大值， 只要上depth大的那个点往上走， 如果往上走的时候，遇到的重链，那么可以进去区间查询，然后一次
走过重链即可。
对于bestcoder round#45 1003 题，
第二次dfs求出编号后，建线段树，然后区间的值等于子区间的异或
那么任意两点的树上路径的权值是否重复，只要访问线段树区间，看最后的异或的值是为0
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <stdlib.h> 4 #include <algorithm> 5 #include <iostream> 6 #include <queue> 7 #include <stack> 8 #include <vector> 9 #include <map> 10 #include <set> 11 #include <string> 12 #include <math.h> 13 using namespace std; 14 #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") 15 #pragma warning(disable:4996) 16 typedef long long LL; 17 const int INF = 1<<30; 18 void input(int &x) 19 { 20 char ch = getchar(); 21 while (ch<'0' || ch>'9') 22 ch = getchar(); 23 x = 0; 24 while (ch >= '0'&&ch <= '9') 25 { 26 x = x * 10 + ch - '0'; 27 ch = getchar(); 28 } 29 } 30 /* 31 第一次dfs进行树链剖分，求出了轻链和重链 32 第二次dfs对树的结点进行了重新编号， 重链上的结点的编号是连续的 33 那么重链上的点在线段树中的区间是连续的 34 剖分后的树有如下性质： 35 性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]； 36 性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。 37 38 那么要询问树上任意两点路径权值的最大值， 只要上depth大的那个点往上走， 如果往上走的时候，遇到的重链，那么可以进去区间查询，然后一次 39 走过重链 40 根据性质2：每次询问的复杂度是O(logn*logn) 41 */ 42 const int N = 100000 + 10; 43 int size[N], depth[N], son[N], fa[N], w[N], top[N], ra[N], num; 44 int value[N]; 45 int tree[N * 4]; 46 vector<int> g[N]; 47 int ans; 48 void dfs(int u) 49 { 50 size[u] = 1; 51 son[u] = 0; 52 for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) 53 { 54 int v = g[u][i]; 55 if (v != fa[u]) 56 { 57 depth[v] = depth[u] + 1; 58 fa[v] = u; 59 dfs(v); 60 size[u] += size[v]; 61 if (size[v]>size[son[u]]) 62 son[u] = v; 63 } 64 } 65 } 66 void dfs2(int u, int tp) 67 { 68 top[u] = tp; 69 w[u] = ++num;//对树上的结点进行编号 70 ra[num] = u; 71 //因为优先dfs重儿子，所以一条重链上的点的编号是连续的 72 if (son[u] != 0) 73 dfs2(son[u], top[u]); 74 for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) 75 { 76 int v = g[u][i]; 77 if (v != son[u] && v != fa[u]) 78 dfs2(v, v); 79 } 80 } 81 void pushUp(int rt) 82 { 83 tree[rt] = tree[rt << 1] ^ tree[rt << 1 | 1]; 84 } 85 void build(int l, int r, int rt) 86 { 87 if (l == r) 88 { 89 tree[rt] = value[ra[l]];//ra[l] 是编号为l的是哪个结点 90 return; 91 } 92 int mid = (l + r) >> 1; 93 build(l, mid, rt << 1); 94 build(mid + 1, r, rt << 1 | 1); 95 pushUp(rt); 96 } 97 //修改某个结点的值， 那么要将父区间异或旧的值（即去除原先的值），然后异或新的值 98 void update(int l, int r, int rt, int pos, int newVal, int oldVal) 99 { 100 tree[rt] = tree[rt] ^ oldVal^newVal; 101 if (l == r) 102 return; 103 int mid = (l + r) >> 1; 104 if (pos <= mid) 105 update(l, mid, rt << 1, pos, newVal, oldVal); 106 else 107 update(mid + 1, r, rt << 1 | 1, pos, newVal, oldVal); 108 } 109 void query(int l, int r, int rt, int L, int R) 110 { 111 if (L <= l && R >= r) 112 { 113 ans ^= tree[rt]; 114 return; 115 } 116 int mid = (l + r) >> 1; 117 if (L <= mid) 118 query(l, mid, rt << 1, L, R); 119 if (R > mid) 120 query(mid + 1, r, rt << 1 | 1, L, R); 121 } 122 int main() 123 { 124 int t, n, q, op,a, b; 125 scanf("%d", &t); 126 while (t--) 127 { 128 num = 0; 129 scanf("%d%d", &n, &q); 130 for (int i = 1; i <= n; ++i) 131 g[i].clear(); 132 for (int i = 1; i < n; ++i) 133 { 134 scanf("%d%d", &a, &b); 135 g[a].push_back(b); 136 g[b].push_back(a); 137 } 138 for (int i = 1; i <= n; ++i) 139 { 140 //scanf("%d", &value[i]); 141 input(value[i]); 142 value[i]++; 143 } 144 depth[1] = fa[1] = 0; 145 dfs(1); 146 dfs2(1, 1); 147 build(1, n, 1); 148 while (q--) 149 { 150 scanf("%d%d%d", &op, &a, &b); 151 152 if (op == 0) 153 { 154 b++; 155 update(1, n, 1, w[a], b, value[a]); 156 value[a] = b; 157 } 158 else 159 { 160 ans = 0; 161 //不停的往上走，像lca一样，不过比lca更优，因为有重链的存在，可以一次走很多部 162 while (top[a] != top[b]) 163 { 164 if (depth[top[a]] < depth[top[b]]) 165 swap(a, b); 166 query(1, n, 1, w[top[a]], w[a]); 167 a = fa[top[a]]; 168 } 169 if (depth[a] > depth[b]) 170 swap(a, b); 171 query(1, n, 1, w[a], w[b]); 172 if (ans == 0) 173 printf("%d\n", -1); 174 else 175 printf("%d\n", ans - 1); 176 } 177 } 178 } 179 return 0; 180 }
