PTA(BasicLevel)-1007素数对猜想

一 问题描述-素数对

　　让我们定义素数差d​n​​为：d​n​​=p​n+1​​−p​n​​，其中p​i​​是第i个素数。显然有d​1​​=1，且对于n>1有d​n​​是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

　　 现给定任意正整数N(<)，请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

　　 输入格式: 输入在一行给出正整数N。

　　 输出格式: 在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

　　 输入样例: 20

　　 输出样例: 4

 

二 求解思路

　　 求解出1到N范围内的素数，然后遍历此序列统计相邻素数差为2的素数对个数，重点在于判断素数的方法。

　　1. 枚举法-素数就是一个只能被1和自己整除的正整数 　　

　　　　只有1和它本身两个因数的自然数是素数，否则就叫合数。

def isPrime( N ):
    """ judge whether N is a prime number
    param:  N (int)
    retype: bool
    """
    if N <= 1:
        return False
    else:
        flag = True
　　　　　# from 2 to N-1
        for  i in range(2, N):
            if (N % i) == 0:
                flag = False
                break
        return flag

     
    2. 开方判断素数法-N如果不能被小于等于它的平方根√N范围内的数整除，就是素数 　　　

　　　   假设N是一个合数，N = a*b,a为N的约数。a、b中肯定存在一个数>=根号N，另一个数<=根号N。
    只要<=根号N的数不能整除N,那么N就不存在除1外的因数。则N为素数。

import math
def isPrimeSqrt( N ):
    if N <= 1:
        return False
    else:
        flag = True
        num = int( math.sqrt(N) )
        for  i in range(2, num+1):
            if (N % i) == 0:
                flag = False
                break
        return flag

  
  3.埃氏素数筛法-从给定的数字序列中不断剔除2到N的倍数，直到不变　

           普通地做法就是累次地剔除能被2到N之间的数整除的数，剩下的就是素数。实际上，可以将除数范围调整到2到根号N,在根号N之前已经把所有能被整除的数剔除了。　　

from math import sqrt
def seive( N ):
    if N < 2:
        return []
    else:
        L = [ i for i in range(2, N+1) ]
　　　　 num = len(L)
        for i in range(2, int( sqrt(num) )+1 ):
            L = list( filter( lambda x: (x%i != 0) or x == i , L) ) 
        return L

三 完整代码

　    python版本

import math
def generatePrime( N ):
    prime = [ i for i in range(1,N+1) if isPrime(i) ]
    return prime
    
def sievePrime( n ):
    """ Implement the seive og Eratosthenes
    param:  n (int)
    retype: list(int)
    """
    A = [ i for i in range(n+1)]
    num = int( math.sqrt(n) )
    for p in range(2, num+1):
        if A[p] != 0: # p hasn't been eliminated on previous passes            
            j = p * p
            while j <= n: # p*p <= n
                A[j] = 0 # mark element as eliminated
                j = j + p # 剔除p的倍数
    L = [ item for item in A if item >= 2 ]
    return L
    
N = int( input() )
cntPrimePair = 0
differ = 0
#for i in N:
#primes = generatePrime( N )
primes = sievePrime( N )
length = len(primes)
for i in range(length):
    if i < (length - 1):
        differ = primes[i+1] - primes[i]
        if differ == 2:
            cntPrimePair += 1
print(cntPrimePair)

　　C语言版本

#include <stdio.h>

int isPrime( int N )
{   /* 穷举法判断素数 */
    if ( N <= 1 ) {
        return 0;        
    } else {
        int flag = 1;
        for ( i = 2; i < N; i++ ) {
            if ( (N % i) == 0 ) {
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        return flag;            
    }            
} 

int isPrimeSqrt( int num )
{
    int flag = 1;
    int N = sqrt(num);
    int i;
    for ( i = 2; i <= N; i++ ){
        if (num % i == 0) {
            flag = 0;
        } 
    }
    return flag;
}

int generatePrime( int primes[], int N )
{
    int i, j;
    for ( j = 0, i = 1; i <= N; i++ ) {
        if ( isPrimeSqrt(i) ) {
            primes[j++] = i;
        }
    }
    return j; /* prime index */
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int i, N, border;
    int differ, cntPrimePair;
    border = differ = cntPrimePair = 0;
    scanf("%d", &N);
    
    int primes[N];
    for ( i = 0; i < N; i++ ) {
        primes[i] = 0;
    }
    border = generatePrime( primes, N );
    
    for ( i = 0; i < (border-1); i++ ) {
        differ = primes[i+1] - primes[i];
        //printf("differ %d\n", differ);
        if ( differ == 2 ) {
            cntPrimePair += 1;            
        }
    }    
    printf("%d\n", cntPrimePair);
     
    return 0;
}