树状数组
下面是树状数组的学习笔记：
目录：
（\(1\)）什么是树状数组
（\(2\)）如何使用树状数组
（\(3\)）树状数组的应用
（\(1\)）什么是树状数组
在解题过程中，有时候要维护一个数组的前缀\(S[i]=A[1]+A[2]+···+A[i]\)。但是如果我们修改了任何一个\(A[i]\)，\(S[1]、S[2]、S[3]···S[i]\)的值都会相应改变。如果我们循环维护每一个\(S[i]\)，那样就太慢了。于是我们要考虑使用数据结构来进行优化。树状数组就是这样一个数据结构！
首先介绍一下前置知识：
根据任意正整数关于\(2\)的不重复次幂的唯一分解性质，若一个正整数\(x\)的\(2\)进制表示为\(10101\)，其中等于\(1\)的位是\(0,2,4\)则正整数可以被分解为\(2^4+2^2+2^0\)。那么，区间\([1,x]\)就可以被分为\(logx\)各小区间
长度为\(2^4\)的区间为\([1,2^4]\)；长度为\(2^2\)的区间为\([2^4+1,2^4+2^2]\)；长度为\(2^0\)的区间为\([2^4+2^2+1,2^4+2^2+2^0]\)。
树状数组就是这样一种结构，它的基本用途就是维护序列的前缀和。对于区间\([1,x]\)树状数组将其分为\(logx\)个子区间，从而满足快速询问区间和。
由上文可知，这些子区间的共同特点是：若区间结尾为\(R\)则区间长度就为\(R\)的“二进制分解”下最小的\(2\)的次幂，我们定义为\(lowbit(R)\)。对于给定的\(A\)序列，我们维护一个\(c\)数组，其实这个\(c\)数组就是我们所说的树状数组。\(c[i]\)中储存的是\(\sum A[i]\space (i\in [x-lowbit(x)+1,x])\)。
树状数组的存储结构如下图：
值得注意的是，这样的树状结构满足以下的4个性质：
\(1\). 每个内部节点\(c[i]\)保存以它为根的子树中所有叶节点的和
\(2\). 每个内部节点\(c[i]\)的子节点个数为\(lowbit(i)\)的大小
\(3\). 除树根外，每个内部节点\(c[i]\)的父节点是\(c[i+lowbit(i)]\)
\(4\). 树的深度为\(O(logN)\)
（2）如何使用树状数组
接下来就讲到实现方面了，树状数组的实现是与上面\(4\)个性质分不开的。
第一部分：求\(lowbit(n)\)
\(lowbit(n)\)表示去除非负整数\(n\)在二进制下最低位的\(1\)以及它后边的\(0\)构成的数值。于是\(lowbit(n)=n\)&\((-n)\)，但是这是怎么来的呢，请听我细细道来（其实我也不知道）
设\(n>0\)，\(n\)的第\(k\)位是1，其余都是\(0\)
为了实现\(lowbit\)运算，先把\(n\)取反，此时第\(k\) 位变为\(0\)，其余都是\(1\)。再另\(n=n+1\)，此时因为进位 ，第\(k\)位变为\(1\)，其余都为\(0\)。在上面的取反加一操作后，\(n\)的第\(k+1\)到最高位恰好与原来相反，所以\(n\)&$n+1$仅有第$k$位为$1$，其余位都是$0$。而在补码表示下，\(n=-1-n\)，因此，\(lowbit(n)=n\)&\((-n)\)
下面是这一部分的代码实现：
int lowbit(int n)
{
return n&(-n);//这句话水的不能再水了，不说了
}
第二部分：单点操作（就是对某个元素进行加法操作，下面以加法为例）
树状数组支持单点操作，根据性质\(1、3\)。每一个内部节点\(c[i]\)保存以它为根的子树中所有叶节点的和，这就说明，我们一旦对$A[i] \(进行改动，就一定要对\)c[i]\(进行改动，并且将所有\)c[i]\(的父亲节点改动。那么如何找到\)c[i]\(的父亲节点呢？其实我们只需要将\)i\(更新为\)i+lowbit(i)$，就可以完成对父亲节点的遍历了。
下面是这一部分的代码实现：
void update(int x,int y)//表示A[x]加y时维护c数组
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y;
}
第三部分：查询前缀和
树状数组支持单点修改和区间查询，下面介绍一下区间查询前缀和的方式：
在这里我们所定义的前缀和，实际上就是\(\sum A[i] (i\in [1,x])\)。按照（\(1\)）中所讲，应该将$[1,x] \(分成\)logn\(个小区间，每个小区间的区间和都已经保存在数组\)c$中。
下面是这一部分的代码实现：（即\(O(logn)\)时间查询前缀和）
int sum(int x)//求1~x的前缀和
{
int ans=0;//用ans存储前缀和
for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[i];//遍历子节点，累加ans
return ans;//最后的答案就是ans
}
第四部分：统计\(A[x]···A[y]\)的值
调用以上的\(sum\)函数，可以求出\(A[x]···A[y]\)得值就是\(sum(y)-sum(x-1)\)
第五部分：扩展（多维树状数组）
由于处理每一个树状数组的复杂度是\(O(logn)\)。所以它可以扩充到\(m\)维，这样一来，处理树状数组的复杂度就提升到了\(O(log^mn)\)，若\(m\)不大的时候，这个复杂度是可以被接受的。但是到底如何实现呢？
其实，扩充树状数组的方式就是讲原来的一个循环改成\(m\)个循环，这一部分的代码如下：
void update(int x,int y,int z)//将(x,y)的值加上z
{
int i=x;
while(i<=n)//如果m更大，再多写几个while
{
int j=y;
while(j<=m)
{
c[i][j]+=z;
j+=lowbit(j);
}
i+=lowbit(i);
}
}
int sum(int x,int y)
{
int res=0,i=x;
while(i>0)
{
int j=y;
while(j>0)
{
res+=c[i][j];
j-=lowbit(i);
}
i-=lowbit(i);
}
return res;
}
第六部分：注意事项
要注意树状数组绝对不能出现下标为\(0\)的状况，因为啥啊，因为\(lowbit(0)=0\)啊！
（\(3\)）树状数组的应用
树状数组的应用有很多，下面重点将洛谷上两个模板题讲解一下
【题目描述】
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
\(1\).将某一个数加上\(x\)
\(2\).求出某区间每一个数的和
直接上代码吧，就是彻彻底底的板子题
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=500010;
int n,m;
int a[maxn],c[maxn];
int h,q,k;//我没得设变量啊TwT
int lowbit(int x)//就是算lowbit(x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int y)//就是将y插入到x中
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
{
c[x]+=y;
}
}
int sum(int x)//就是计算A[1]+A[2]+···+A[x]的值
{
int ans=0;
for(;x;x-=lowbit(x))
{
ans+=c[x];
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&a[i]);
update(i,a[i]);
}
while(m)//循环读入数据
{
m--;
scanf("%d",&h);
if(h==1)//h是对类型的判断
{
scanf("%d%d",&q,&k);
update(q,k);
}
if(h==2)
{
scanf("%d%d",&q,&k);
printf("%d\n",sum(k)-sum(q-1));
}
}
return 0;
}
上面的这道题是典型的树状数组“单点修改，区间查询题”。但是下面一道题就不是这样了！
【题目描述】
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
\(1\).将某区间每一个数数加上\(x\)
\(2\).求出某一个数的值
【题目分析】
诶？这道题好像是“区间修改，单点查询”的题额，怎么做呢？我们引入一个叫做差分的概念：
假设\(A[]=\){\(1,5,3,6,4\)}，\(B[]=\){\(1,4,-2,3,-2\)}
我们可以发现，如果规定\(A[0]=0\)，那么可以满足\(B[i]=A[i]-A[i-1]\)，并且\(A[i]=B[1]+B[2]+···+B[i]\)。
如果我们在区间\([2,4]\)上加上\(2\)，按照相同的规则进行处理，可以得到\(B[]=\){\(1,7,-2,3,\)}，只有\(B[2]\)和\(B[5]\)有改动
于是我们可以得到一个规律，即：对于\(A\),将区间\([l,r]\)中的每一个数都加上一个数\(x\)，\(B[l]+=x;B[r+1]-=x\)
于是我们可以开一个树状数组维护差分值，每次只需要将\(l\)和\(r+1\)进行操作，最后将需要查询的\(A\)值转化为\(B\)值求和就可以得到了！
下面请食用代码:
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=500010;
int n,m;
int a[maxn],c[maxn];
int h,q,k,d;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int y)
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
{
c[x]+=y;
}
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
for(;x;x-=lowbit(x))
{
ans+=c[x];
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
while(m)
{
m--;
scanf("%d",&h);
if(h==1)
{
scanf("%d%d%d",&q,&k,&d);
update(q,d);
update(k+1,-d);
}
if(h==2)
{
scanf("%d",&q);
printf("%d\n",a[q]+sum(q));
}
}
return 0;
}
/*
相信大家已经发现了，这段代码与前一段没有什么太大的区别，其实就是将读入增加了一个，输出减少了一个罢了
*/
\(end\)
