高数

太吃操作了

0

• \(||x|-|y||\le |x-y|\)
• \(e=\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^n 1/i!\)

1

求 \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}\)

解：

首先证明 \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n}=e^{-1}\)。

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n} &=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac 1n\right)^{(n-1)}\right]^{\frac{n}{n-1}}\\ &=\left[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{(n-1)}\right]^{\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n-1}}\\ &=\left(e^{-1}\right)^1\\ &=e^{-1} \end{align*} \]

因此 \(\forall \epsilon>0, \exist N\in \mathbb N^*, \mathrm{s.t.} \;n>N,\left|\left(1-\frac 1n\right)^{n}-e^{-1}\right|<\epsilon\)

取 \(\epsilon = e^{-1}\)，记此时的 \(N\) 为 \(N_1\)，则 \(n>N_1\) 时 \(\left|\left(1-\frac 1n\right)^{n}-e^{-1}\right|<e^{-1}\)，因此：

\[\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}<\left(\frac 1e + \frac 1e\right)^n \]

又有 \(\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}>0\)，由夹逼定理即得 \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}=0\)

2

证明 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] n=1\)

3

求：

\[\lim_{x\to\infty}\left(\sin\frac 1x+\cos\frac 1x \right)^x \]

解：

\[\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\left(\sin\frac 1x+\cos\frac 1x \right)^x &=\lim_{t\to 0}\left(\sin t+\cos t\right)^{\frac 1t}\\ &=\lim_{t\to 0}\left(1+\sin t+\cos t-1\right)^{\frac 1{\sin t+\cos t-1}\cdot\frac{\sin t+\cos t-1}{t}}\\ \end{align*} \]

只需求 \(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t+\cos t-1}{t}\)

而：

\[\begin{align*} \lim_{t\to 0}\frac{\sin t+\cos t-1}{t} &=\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin t}t +\frac{\cos t-1}t\right)\\ &=1+\lim_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{t^2}\cdot t\\ &=1 \end{align*} \]

因此 \(\lim_{x\to\infty}\left(\sin\frac 1x+\cos\frac 1x \right)^x=e\)

4

证明 \(\lim_{x\to a}x^2=a^2\)