线性代数快速自检
1. 线性方程组
初等行变化、行简化；存在唯一性定理
倍加、对换、倍乘
矩阵 \(\rightarrow\) 阶梯型矩阵（不唯一）\(\rightarrow\) 最简形（唯一）
线性方程组相容 \(\Leftrightarrow\) 增广矩阵的最右列不是主元列
相容时，有/无自由变量 \(\Leftrightarrow\) 无穷多解/唯一解
线性组合，向量方程，生成的子集
\(x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\dots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{b}\)
同解于增广矩阵为 \(\begin{bmatrix}\mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}&\dots&\mathbf{a_n}&\mathbf{b}\end{bmatrix}\) 的线性方程组
是否有解 \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{b}\) 是否属于 \(\operatorname{Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n}\}\)
矩阵方程，线性方程组的解集
矩阵向量积 \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\)
非齐次的通解=对应齐次的通解+非齐次的一个特解
线性相关性
一组向量 \(\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n}\}\) 线性无关 \(\Leftrightarrow\) 向量方程 \(x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\dots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{0}\) 只有平凡解
矩阵 \(\mathbf{A}\) 各列线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 只有平凡解
\(\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n}\}\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) 至少存在一个向量是其他向量的线性组合（容易证明）
线性变换
定义域、上域、值域、像、原像
变换 \(T\) 是线性，当
- \(T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\)
- \(T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})\)
对于线性变换 \(T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\)，则存在唯一的矩阵 \(\mathbf{A}\)，使得 \(\forall x\in\mathbb{R}^n\)，\(T(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}\)
存在性
\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}T(\mathbf{e_1})&T(\mathbf{e_2})&\dots&T(\mathbf{e_n})\end{bmatrix}\)
其中 \(\mathbf{e_i}\) 是单位阵 \(\mathbf{I_n}\) 的第 \(i\) 列
唯一性
设 $T(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}=\mathbf{Bx}$。则 \(\mathbf{Ae_i}=\mathbf{Be_i}\)，即 \(\mathbf{A}\) 的第 \(i\) 列 等于 \(\mathbf{B}\) 的第 \(i\) 列。
则 \(\mathbf{A}=\mathbf{B}\)
单射，满射
设线性变换 \(T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\)，其标准矩阵为 \(\mathbf{A}\) 则以下命题等价
- \(T\) 是一对一的（或单射）
- 方程 \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 仅有平凡解
- \(\mathbf{A}\) 的列线性无关
- \(\mathbf{A}\) 的每一列都是主元列
- \(T\) 是映上的（或满射）
- \(\forall \mathbf{b}\)，方程 \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 有解
- \(\mathbf{A}\) 的各列生成 \(\mathbb{R}^m\)
- \(\mathbf{A}\) 的每一行都有一个主元位置
证明显然
2. 矩阵代数
矩阵乘法
\(\mathbf{A}_{n\times m}\mathbf{B}_{m\times p}=\mathbf{AB}_{n\times p}\)
\(col_i(\mathbf{AB})=\mathbf{A}col_i(\mathbf{B})\)
\(row_i(\mathbf{AB})=row_i(\mathbf{A})\mathbf{B}\)
\(\mathbf{AB}=\sum col_i(\mathbf{A})row_i(\mathbf{B})\)
转置
\((\mathbf{A}^T)^T=\mathbf{A}\)
\((c\mathbf{A}+\mathbf{B})^T=c\mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T\)
\(\mathbf{AB}^T=\mathbf{B}^T\mathbf{A}^T\)
逆
定义：\(\mathbf{AB}=\mathbf{I}\) 且 \(\mathbf{BA}=\mathbf{I}\)
逆的唯一性
设 \(\mathbf{B}\)，\(\mathbf{C}\) 均为 \(\mathbf{A}\) 的逆
则有 \(\mathbf{B}=\mathbf{BI}=\mathbf{BAC}=\mathbf{IC}=\mathbf{C}\)。
\(\mathbf{A}\) 是 \(n\) 阶可逆阵，则 \(\forall\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\)，\(\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\) 有唯一解 \(\mathbf{A^{-1}b}\)
证明
有解 \(\mathbf{Ax}=\mathbf{A(\mathbf{A}^{-1}b)}=\mathbf{Ib}=\mathbf{b}\)
唯一 \(\mathbf{Au}=\mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{A^{-1}Au}=\mathbf{A^{-1}b} \Rightarrow \mathbf{u}=\mathbf{A^{-1}b}\)
由上可推 \(\mathbf{A}\) 行等价于 \(\mathbf{I}\)
\((\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}\)
\(\mathbf{A}\)，\(\mathbf{B}\) 均可逆，则 \(\mathbf{AB}\) 可逆且 \(\mathbf{AB}^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\)
\((\mathbf{A}^{T})^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^T\)
证明
初等变换矩阵可逆
可逆阵可写作若干初等矩阵的乘积
若 \(\mathbf{AB}=\mathbf{I}\)，则 \(\mathbf{AB}\) 均可逆。
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