中国剩余定理

[zz]中国剩余定理

Posted by zhaocong89 on 三月 10, 2011

转载自：http://tuzkier.kilu.de/blog/?p=29

下面讲讲中国剩余定理：
　我国有一本数学古书「孙子算经」有这样一道问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？」

此题的意思是：有一批物品，三个三个地数，剩两个；五个五个地数，剩三个；七个七个地数，剩两个。问这批物品至少有多少个？

明代数学家程大位在其<算法统宗>里用口诀“:三人同行七十稀,五树梅花廿一,七子团圆月正半,除百零五便得知.”表达的。

　　这个口诀的意思是：把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，结果若是比105大，就减去105的倍数，便得所求的数。

　　这就是被称之为“中国剩余定理”。
根据上面所说的 举个例子：
一般题目的形式都是： 已知n1、n2、n3是两两互质的正整数，求最小正整数x，使它被n1、n2、n3除所得余数分别为r1、r2、r3
.”
若 n1 = 3，n2 = 5， n3 = 7，r1 = 2，r2 = 3， r3 = 2. 求x
M1 = 70 = 3*23+1 = 5*7*2
M2 = 21 = 5*4+1 = 3*7*1
M3 = 15 = 2*7 + 1 = 3*5*1
而 70 21
15 从何而来？
70 是 n2跟n3的公倍数 而且对n1取余为1
21 是 n1跟n3的公倍数 而且对n2取余为1
15 是 n1跟n2的公倍数 而且对n3取余为1
依次类推 如果个数为m的话 nm(m为下标)就是n1,n2…….n(m-1)的公倍数 且对nm取余为1
于是得到 ans = M1+M2+M3 = 233
再来看这道题（指的是HDOJ 1370 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1370）

读入p,e,i,d 4个整数，(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i ,求n
。
怎么求？这就要谢谢韩信了！

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让
敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7
报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法就是“中国剩余定理”
n1 = 23
n2 = 28 n3 = 33
可得 (28*33)*K
%23 == 1 ，(23*33)*K%28 == 1 (23*28)*K%33 == 1

得到 M1 = 5544 M2 = 14421 M3 =
1288
这一步可以预处理掉
或者自己算出来 然后直接复制 相对高效了！！！
然后：
（5544×p+14421×e+1288×i）%（23×28×33）=n+d

n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%（23×28×33）
这样就可以得到结果了！不过有些情况还要再处理下 比如n==0
其实n 是23*28*33 = 21252
还有小于0 的情况 这些就要经过(n + 21252 -
1)%21252 + 1的处理了！！！
结果出来了 中国剩余定理也理解了！最后贴上我的代码：
#include
int main ()
{
int ans,Cass
= 0,pl,el,il,pass;
int R1 =
5544,R2 = 14421,R3 = 1288,R = 21252; // 为了效率 直接赋值了！可以预处理计算!

while(scanf(“%d %d %d
%d”,&pl,&el,&il,&pass)
&&(pl != -1 || el != -1 || il != -1
|| pass != -1))
{

Cass
++;

ans = (pl*R1
+ el*R2 + il*R3 – pass)%R; // 大部分已经可以算出结果了！！！

ans = (ans +
R – 1)%R + 1; //处理ans小于等于0的情况

printf(“Case
%d: the next triple peak occurs in %d days.\n”,Cass,ans);
}
return
0;
}