poj1050动态规划详解
最大子矩阵问题：
问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline /showproblem?problem_id=1050)
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。
Example：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵：
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个 n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。
怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？
让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：
给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中 i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种方法－直接穷举法:
maxsofar=0;
for i = 0 to n
{
for j = i to n
{
sum=0;
for k=i to j
sum+=a[k]
if (maxsofar>sum)
maxsofar=sum;
}
}
第二种方法－带记忆的递推法：
cumarr[0]=a[0]
for i=1 to n //首先生成一些部分和
{
cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];
}
maxsofar=0
for i=0 to n
{
for j=i to n //下面通过已有的和递推
{
sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum
}
}
显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。
下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j] (2) 以a[j]为起点的子段
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子段和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
得出的算法如下：
public int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i< n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
这就是第三种方法－动态规划。现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
import java.util.Scanner;
public class Main
{
private int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i< n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
{
int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
int b[]=new int[101];
for(i=0;i< n;i++)
{
for(k=0;k< n;k++)//初始化b[]
{
b[k]=0;
}
for(j=i;j< n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
{
for(k=0;k< n;k++)
{
b[k]+=array[j][k];
}
max=maxSubArray(k,b);
if(max>sum)
{
sum=max;
}
}
}
return sum;
}
public static void main(String args[])
{
Main p=new Main();
Scanner cin=new Scanner(System.in);
int n=0;
int[][] array=new int[101][101];
while(cin.hasNext())
{
n=cin.nextInt();
for(int i=0;i< n;i++)
{
for(int j=0;j< n;j++)
{
array[i][j]=cin.nextInt();
}
}
System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
}
}
}
另解：
import java.util.Scanner;
public class Main {
int[][] a;
int l;
int max = Integer.MIN_VALUE;
int t;
int t1;
int t2[];
public Main() {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
l = scan.nextInt();
a = new int[l][l];
for (int i = 0; i < l; i++) {
for (int j = 0; j < l; j++) {
a[i][j] = scan.nextInt();
}
}
search();
System.out.println(max);
}
public void search() {
for (int i = 0; i < l; i++) {
for (int j = 0; j < l; j++) {
t1 = 0;
t2 = new int[l];
for (int k = i; k < l; k++) {
t1 += a[k][j];
t = t1;
if (t > max) {
max = t;
}
for (int m = j + 1; m < l; m++) {
t2[m] += a[k][m];
t += t2[m];
if (t > max) {
max = t;
}
}
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
new Main();
}
}
运行：
C:\ww>java Main
4
0
-2
-7
0
9
2
-6
2
-4
1
-4
1
-1
8
0
-2
15
另一种方法
#include<stdio.h>
#include<string.h>
void main()
{
int n,data[102][102],i,j,k,a,sum,max;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(data,0,sizeof(data));
for(i=1;i<=n;i++) //data[i][j]=data[i][1]+...+data[i][j]
for(j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&a);
data[i][j]+=data[i][j-1]+a;
}
//每列求连续最大字段和
max=-9999999;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=i;j<=n;j++)
{
sum=0;
for(k=1;k<=n;k++)
{
if(sum+data[k][j]-data[k][i-1]>0)
sum+=data[k][j]-data[k][i-1];
else
sum=0;
if(sum>max)
max=sum;
}
}
printf("%d\n",max);
}
}
网上的解决方法
#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int ss[110][110][110]={0},maxn[110][110][110]={0};
int main()
{
int a[110][110],s[110][110]={0},n,i,j,l,k;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
s[j][i]=s[j-1][i]+a[j][i];
}
}
for(l=1;l<=n;l++)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=i;j<=n;j++)
{
ss[l][i][j]=s[j][l]-s[i-1][l];
}
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=i;j<=n;j++)
{
for(l=1;l<=n;l++)
{
if(maxn[i][j][l-1]>0)
{
maxn[i][j][l]=maxn[i][j][l-1]+ss[l][i][j];
}
else
{
maxn[i][j][l]=ss[l][i][j];
}
}
}
}
k=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=i;j<=n;j++)
{
for(l=1;l<=n;l++)
{
if(maxn[i][j][l]>k)
k=maxn[i][j][l];
}
}
}
printf("%d\n",k);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号