原码、反码、补码、进制转换

1. 机器数和真值

1.1 机器数

1.2 真值

2. 原码、反码和补码的介绍

2.1 原码

2.2 反码

2.3 补码

3. 原码、反码和补码的作用

4. 进制转换 

 

 

1. 机器数和真值

1.1 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机中用一个数的最高位存放符号,正数为 0、负数为 1。

比如,十进制中的数 +3 ,若计算机字长为 8 位,则转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

 

1.2 真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位 1 代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值 131(10000011 转换成十进制等于 131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001 的真值 = -000 0001 = -1

 

2. 原码、反码和补码的介绍

2.1 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值,比如 8 位二进制:

[+1]原码 = 0000 0001

[-1]原码 = 1000 0001

因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:[1111 1111 , 0111 1111],即:[-127 , 127] 。

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

 

2.2 反码

反码的表示方法是:正数的反码是其本身;而负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。

[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反

[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反

可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值,通常要将其转换成原码再计算。

 

2.3 补码

补码的表示方法是:正数的补码就是其本身;负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后 +1(即在反码的基础上 +1)。

[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补

[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补

对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。

 

3. 原码、反码和补码的作用

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数,三种编码方式的结果都相同。例:

[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补

而对于负数,其原码,反码和补码则都不相同。例:

[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补

 

既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?

首先,因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减(真值的概念在本文最开头)。但是对于计算机,加减乘除已经是最基础的运算,要设计得尽量简单。要辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂,于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。根据运算法则,减去一个正数等于加上一个负数,即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法。以下以十进制计算表达式 1 - 1 = 0 为例。

首先来看原码

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] 原 + [10000001] 原 = [10000010] 原 = - 2

如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

 

为了解决原码做减法的问题,出现了反码

1 - 1 = 1 + (-1) 

= [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原 

= [0000 0001] 反 + [1111 1110] 反 

= [1111 1111] 反

= [1000 0000] 把最终的反码结果转换回原码 

= -0

发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的,但是 0 带符号是没有任何意义的。而且会有 [0000 0000]原 和 [1000 0000]原 两个编码表示 0。

 

于是补码的出现,解决了 0 的符号以及两个编码的问题:

1 - 1 = 1 + (-1) 

= [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原 

= [0000 0001] 补 + [1111 1111] 补 

= [0000 0000] 补

= [0000 0000] 原

这样 0 用 [0000 0000] 表示,而以前出现问题的 -0 则不存在了。

 

使用补码,不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数。

(-1) + (-127)

= [1000 0001] 原 + [1111 1111] 原 

= [1111 1111] 补 + [1000 0001] 补 

= [1000 0000] 补

-1 - 127 的结果应该是 -128,在用补码运算的结果中,[1000 0000]补 就是 -128。但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128,所以 -128 并没有原码和反码表示(对 -128 的补码表示 [1000 0000]补 算出来的原码是 [0000 0000]原,这是不正确的)。

这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127],而使用补码表示的范围是 [-128, 127]。

因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型,可以表示范围是 [-2^31,2^31-1],因为第一位表示的是符号位,使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

 

4. 进制转换

4.1 十进制转二进制

十进制整数转二进制整数

十进制整数转换为二进制整数采用“除 2 反向取余”法。具体做法是:使用“短除法”,用 2 整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用 2 去除商,又会得到一个商和余数;如此循环进行,直到商为 0 时为止,然后从下向上读取每一次的余数。

如:将 789 转换为二进制

789 / 2 = 394 …… 1
394 / 2 = 197 …… 0
197 / 2 = 98 …… 1
98 / 2 = 49 …… 0
49 / 2 = 24 …… 1
24 / 2 = 12 …… 0
12 / 2 = 6 …… 0
6 / 2 = 3 …… 0
3 / 2 = 1 …… 1
1 / 2 = 0 …… 1

从下向上读取每一次的余数,把它们连接为字符串,就是答案:789 = 1100010101(B)

十进制小数转二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用“乘 2 取整,顺序排列”法。具体做法是:用 2 乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用 2 乘余下的小数部分,又得到一个积,再将积的整数部分取出,如此进行,直到积中的小数部分为零,此时 0 或 1 为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来,先取的整数作为二进制小数的高位有效位,后取的整数作为低位有效位。

程序实现

 1 # 读取一个十进制数字
 2 while 1:
 3     try:
 4         num = float(input("请输入一个十进制的数字:"))
 5         break
 6     except:
 7         continue
 8 
 9 # 整数部分的计算
10 int_result = 0
11 # 如果整数部分为0,无需继续计算
12 if int(num) == 0:
13     pass
14 else:
15     int_part = int(str(num)[:str(num).find(".")])
16     # 用于存储每一次计算的余数
17     int_result = []  
18     # 开始循环除以2
19     while int_part > 0:
20         int_part, remainder = divmod(int_part, 2)  # 获取商和余数
21         int_result.append(remainder)
22     int_result = int("".join(list(map(str, int_result[::-1]))))
23 
24 # 小数部分的计算
25 float_part = float(str(num)[str(num).find("."):])
26 float_result = 0
27 # 如果小数部分为0,无需继续计算
28 if float_part == 0:
29     # 最终结果=整数部分+小数部分
30     final_result = int_result
31 else:
32     # 用于存储每一次计算的整数部分
33     float_result = []
34     while 1:
35         tmp_result = float_part * 2
36         # 取出整数部分(0或1)
37         float_result.append(int(tmp_result))
38         if tmp_result == int(tmp_result):
39             break
40         float_part = float("0."+str(tmp_result)[str(tmp_result).find(".")+1:])
41     float_result = float("0."+"".join(list(map(str, float_result))))
42 
43 # 最终结果为整数部分+小数部分
44 print(int_result+float_result)

4.2 二进制转十进制

转换方法

小数点前或者整数要从右到左用二进制的每个数去乘以 2 的相应次方并递增,小数点后则是从左往右乘以二的相应负次方并递减。

例,二进制数 1101.01 转化成十进制:
1101.01(B)= 1*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3 + 0*2^(-1)+1*2^(-2) = 1+0+4+8+0+0.25 = 13.25

程序实现

 1 # 读取一个二进制数字
 2 while 1:
 3     try:
 4         bin_num = float(input("请输入二进制数字:"))
 5         break
 6     except:
 7         continue
 8 # 整数部分
 9 int_bin = str(bin_num)[:str(bin_num).find(".")][::-1]
10 result = 0
11 for i in range(len(int_bin)):
12     if int_bin[i] == "1":
13         result += 2**(i)
14 # 小数部分
15 float_bin = str(bin_num)[str(bin_num).find(".")+1:]
16 for i in range(len(float_bin)):
17     if float_bin[i] == "1":
18         result += 2**(-(i+1))
19 # 最终结果=整数部分+小数部分
20 print(result)

4.3 内置函数进行进制转换

1 # 十进制转其他进制
2 hex(n)  # 10进制的n转16进制
3 oct(n)  # 10进制的n转8进制
4 bin(n)  # 10进制的n转2进制
5 
6 # 其他进制转十进制
7 int("16", base=16)  # 将16进制的16 转成10进制
8 int("7", base=8)   # 将8进制的7 转成10进制
9 int("1", base=2)  # 将2进制的1 转成10进制

 

posted @ 2020-06-27 20:39  Juno3550  阅读(1253)  评论(0编辑  收藏  举报