信号处理—频域分析

1 幅值谱、相位谱

2 功率谱、功率谱密度

第一部分的幅值谱和相位谱是信号频域分析的一个重要手段。在这其中，幅值谱和相位谱主要针对满足傅里叶变换条件的信号，比如能量信号。而工程和实际中接触的信号往往都是随机信号，随机信号不满足FFT变换的条件（在宋老师的书中（见参考链接）提到随机信号不满足傅里叶变换绝对可积条件），不能直接进行FFT变换，故一般不采用幅值谱和相位谱进行分析。

2.1 理论铺垫

功率谱和功率谱密度是针对随机信号而言，那么首先要认清什么是随机信号？

• 确定性信号：可以表示为一个确定的时间函数，因而可确定其任何时刻的量值，这种信号称为确定性信号。

• 周期信号：按照一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。

• 非周期信号：不具有周期重复性的信号。

  • 准周期信号：两种以上的周期信号合成的，但其组成分量间无法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周期而重复出现的信号。
  • 瞬变非周期信号：除准周期信号之外的其他非周期信号，是一些或在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。

• 随机信号：一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关系式来描述的信号。但是，它具有某些统计特征，可以用概率统计方法由其过去来估计其未来。如噪声信号、含噪信号，工程中没有绝对意义的无噪信号，所以都是随机信号，所以都用功率谱和功率谱密度分析（个人理解）。

对随机信号按照历程所作的各次长时间观测记录成为样本函数。在同一试验条件下，全部样本函数的集合就是随机过程。随机过程有平稳过程和非平稳过程之分。平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。

在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经（遍历性）随机过程。工程中，很多随机信号分析时我们都前提认为所取信号具有各态历经性（大家默认，都不强调），有的虽然不满足严格的各态历经过程，但可以忽略那些不具有各态历经性分量，它们可能不是我们的重点研究对象。

在宋老师的书（《MATLAB数字信号处理85个实用按比例——入门到进阶 宋知用 编著》）中提到：随机信号在时间上是无限的，因此是能量无限、功率有限的信号（我认为这意思就是随机信号就是功率信号）。而能量无限的信号不满足傅里叶变换绝对可积条件（狄利克雷条件的第三点，信号在一个周期内是绝对可积的。），因此随机信号的傅里叶变换是不存在的。但是随机信号的功率是有限的，采用功率谱可以从统计的角度来描述随机信号的频域特性。

为什么随机信号不能用频谱表示？而必须用功率谱密度表示呢？ - 知乎

2.2 具体案例

本文计算功率谱和功率谱密度采用的是非参数法中的周期图法！周期图法绘制信号的功率谱，就是取一段有限长的信号，进行傅里叶变换然，然后取模的平方，再除以信号的长度。

虽然本文提供了功率谱和功率谱密度的封装函数，但是推荐用Matlab的periodogram函数，本文只是重现了这个函数的结果，让大家更加透彻的理解。除此之外，估计PSD的方法matlab提供了很多，如参数法、子空间方法等等。

有一个含噪信号\(y_{11}\)，表达式如下：

\[\begin{aligned} & y_1 = 0.8 + 0.7\cos(100\pi t - \dfrac{\pi}{4}) + 0.8\cos(600\pi t + \dfrac{\pi}{5}) \\ & y_{11} = y_1 + 0.5\text{noise} \end{aligned} \]

这里，\(\text{noise}\)表示一个符合标准正态分布的随机噪声。采样频率设置为1000，信长度为2000，即信号的时间长度为2s。上述这个信号的时域波形如下图所示。

准确的来说，含噪信号是随机信号，不说它的幅值谱和相位谱了，但是如果认为该随机信号是各态历经，幅值谱其实和功率谱、功率谱密度提供的信息差不多，幅值谱也是进行了标准化，去除了信号长度对幅值谱的干扰，也是可以进行信号间信息比较的。但是，为了严谨，我就不放了，但是代码会画，大家自行取舍。

上图信号的功率谱和功率谱密度如下图所示：

功率谱	功率谱密度

无论是从上述功率谱和功率谱密度中，都能发现信号中存在两个突出的频率分量50Hz和300Hz。幅值数值的意义需要比较不同信号才有价值，我对数值没有直观感受，感觉不到。实际分析信号时，一般都只看功率谱密度。

注意：上述功率谱和功率谱密度画图时采用pow2db函数，将功率转换为了分贝数，关系式为：\(y_{\text{db}} = 10\log_{10}(y)\)。周期图法中，功率谱和功率谱密度的区别在于，功率谱密度是功率谱再除以采样频率fs，可以理解为去除采用频率差异的影响。所以功率谱和功率谱密度的单位分别为dB和dB/Hz。

除此之外，值得注意的是该图中有两条曲线，一条蓝色的一条红色的，蓝色的为自己写的测试函数，红色的为matlab的periodogram函数，它们的结果是一模一样的，这也验证了测试函数的正确性。

2.3 程序代码

本小节转载自：信号处理—频域分析（功率谱、功率谱密度）
参考链接：一个涵盖了幅值谱、功率谱和功率谱密度的视频，强烈推荐！！！