数分 II 复习

数分 2 复习

数分为什么这么难，救命。

多元函数的极限与连续

\(\mathbb R ^n\) 中的度量与点列极限

线性空间→内积空间。

赋范空间：内积开根可作为一个范数。可定义出夹角，Cauchy-schwarz 证明 \(\cos\le 1\)。

度量空间：范数可作为一个度量。

有了度量能定义邻域 \(B_r(a)=\{x\in X|d(x,a)< r\}\)。

沿用一维时柯西列的定义定义点列极限。

Thm: 有限高维点列收敛等价于各分量作为数列收敛

证明考虑各分量能控制住点列的欧几里得范数，容易证明。

Rmk: 无限维上述结论会出问题

考虑 \(l^2(\mathbb R)\)：\(e_i=(0,0,\cdots,1,0,\cdots)\)，第 \(i\) 维为 1。

\(\mathbb R^n\) 的拓扑

我们将一元中开与闭的概念推广。

定义内点，外点，边界点。

\(E\) 的内点集为 \(E^\circ\)，外点集是补集的内点集，即 \((E^c)^\circ\)，边界点集为 \(\partial E\)。

Rmk: \(E\) 的内点集、外点集、边界点集是 \(\mathbb R^n\) 的无交并。

定义聚点：称 \(a\) 为 \(E\) 的聚点当且仅当 \(\forall \delta>0:\text{card}(B_\delta(a)\cap E)=\infty\)。

定义极限点：称 \(a\) 为 \(E\) 的极限点当且仅当 \(\exists \{x_n\}\in E,\lim_{k\to \infty}x_k=a\)（点列要求互异）。

Thm: 聚点与极限点等价。

聚点推极限点容易，极限点推聚点考虑极限点定义即可。

称所有聚点/极限点集合为导集 \(E'\)。

还有一个定义是孤立点，感觉用处不大，知道即可。

开与闭

\(E\subset \mathbb R^n\)。

1. 若 \(E=E^\circ\)，称 \(E\) 为开集。（所有点均为内点）
2. 若 \(E'\subset E\)，称 \(E\) 为闭集。（对取极限封闭）

全集和空集又是开集又是闭集。

Rmk: 一般来说 \(G\) 是一个开集，\(F\) 是一个闭集，\(E\) 是一个集合。

称 \(\overline E=E\cup E'\) 为 \(E\) 的闭包。

Rmk:

1. \(E^\circ\) 为 \(E\) 中最大开集。
2. \(\overline E\) 为包含 \(E\) 的最小闭集。

先证 \(E^\circ\) 为开集，再说明 \(E^\circ\supset G\)。

先证 \(\overline E\) 为闭集，再说明 \(E'\subset F\) 即可。

Rmk: 开闭是一个相对概念，定好全集才能描述开闭。

Prop: \(F\) 是闭集等价于 \(F^c\) 是开集。

很多时候证闭集不容易，证补集是开集是个好想法。

开闭集性质：

1. 任意开集的并仍开，有限开集的交仍开。
2. 任意闭集的交仍闭，有限闭集的并仍闭。

证明是容易的。

Rmk: 抛开“距离”谈论开与闭。

不会考，但感觉很深刻。

\(\mathbb R^n\) 中的基本定理

Thm（Bolzano-Weierstrass 定理）：

\(n\) 有限，有界点列必有收敛子列。

利用点列收敛等价于每一维分别收敛，由一维 B-W 依次取收敛子列得证。

BW 是 \(\mathbb R^n\) 紧性的反映。

Thm（Cauchy 收敛原理）：

点列收敛等价于点列为柯西列。

柯西列：\(\forall \varepsilon>0\exists N\forall k,l>N:d(x_k,x_l)< \varepsilon\)。

左到右：easy。
右到左：
Sol1：先证点列有界，通过多维 B-W 找到极限点，验证确为收敛点。
Sol2：从分量出发用一维 Cauchy 收敛证明。

Cauchy 收敛是 \(\mathbb R^n\) 完备性的反映。

Thm（闭集套定理）：

\(\{F_k\}\) 是一列非空闭集套，满足：

1. \(F_k\supset F_{k+1}\)。
2. \(\text{diam} F_k\to 0\)。

则 \(\exists! \xi\in \cap F_k\)。

唯一性反证易知。

存在性考虑构造点列 \(\{x_k\in F_k\}\)，利用 \(\text{diam}F_k\to 0\) 证明其为柯西列。

紧与列紧

定义紧集：若 \(E\) 的任意一个开覆盖存在有限子覆盖，则 \(E\) 为紧集。

一维情况下的有限开覆盖定理可以被简单叙述为：闭区间是紧集。

Thm（Heine - Borel 定理）：

\(\mathbb R^n\) 中紧集与有界闭等价。

紧→有界闭与维数无关。

有界闭→紧需要反证， \(2^n\) 等分利用闭集套推矛盾。

列紧性：任一点列有收敛子列且收敛点在集合中。

Rmk: 一般度量空间里 紧 \(\iff\) 列紧 \(\Rightarrow\) 有界闭。

Thm：

\(\mathbb R^n\) 中子集 \(K\) 紧、列紧、有界闭等价。

多元连续映射

多元极限存在意味着自变量无论以何种方式趋于 \(x_0\)，函数值趋于同值。

关于累次极限（一元观点）：

1. 多元极限存在推不出多次极限存在

   \(f=x\sin\dfrac 1 y+y\sin \dfrac 1 x\)，\(xy=0\) 处补充定义为 0。

2. 多次极限存在推不出多元极限存在

   \(f=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\)，\((0,0)\) 处补充定义为 0。

3. 多次极限不一定相等

   \(f=\dfrac{x-y+x^2+y^2}{x+y}\)。

连续性，定义很自然。

四则运算保持连续性，复合映射保持连续性。

连续映射的整体性质

若有连续映射 \(f\in C(D,\mathbb R^n)\)，

目标：\(f(\text{紧})=\text{紧},f(\text{连通})=\text{连通}\)。

Thm:

若 \(K\) 是 \(\mathbb R^n\) 中的紧集，\(f\in C(K,\mathbb R^m)\)，则 \(f(K)\) 为紧集。

易证 \(f(K)\) 的列紧性，得到 \(f(K)\) 紧性。

Cor：有界性、最值定理

由上述定理以及 \(\mathbb R^n\) 中紧、列紧、有界闭的等价性可知。

同样可以定义一致连续。

Thm（康托定理）：

\(K\) 紧，\(f\in C(K,\mathbb R^m)\)，则 \(f\) 在 \(K\) 上一致连续。

运用紧的性质（有限开覆盖）说明有一致的界。

定义好道路连通，可以证 \(f(\text{连通})=\text{连通}\)。

多元映射微分学

微分

对于映射 \(f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m\)，\(f\) 在 \(\mathrm{x_0}\) 处可微，若存在 \(A(\mathrm{x_0})\in M_{m\times n}(\mathbb R)\)，
满足 \(f(\mathrm{x_0}+\mathrm{\Delta x})=f(\mathrm x_0)+A(\mathrm x_0)\mathrm{\Delta x}+o(|\mathrm{\Delta x}|),|\mathrm{\Delta x}|\to 0\)。

称线性映射 \(\text{d}f\) （\(\mathrm h\to A(\mathrm x_0)\mathrm h\)）为 \(f\) 在 \(\mathrm x_0\) 处的微分。

Rmk：对于多元函数 \(f:\mathbb R^n\to \mathbb R\)，有全微分概念。

\(\text{d}f|_{\mathrm x_0}=\sum_{i=1}^nA_i\text{d}x_i\)

雅可比矩阵 \(\{\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\}_{i\in [n],j\in [m]}\)。（Jacobi）

微分与偏导的关系

1. 可微知连续。

2. 可微知可偏导。

3. 偏导均存在不一定可微

   \(f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\) 在 \((0,0)\) 处。

4. 偏导数在邻域内存在且某点连续，知该点可微。

梯度

\(f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)。定义哈密顿算子（Hamilton）：

\(\nabla f=(\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dfrac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n})\)。

有内积定义，知 \(\nabla f\) 方向即方向导数取最大值的方向，反之取最小值，其模长即方向导数（归一化）最大值。

高阶偏导

注意顺序：\(f_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial f}{\partial x})\)。

高阶偏导对称性：

Thm：

若 \(f\in C^k(D\subset\mathbb R^n,\mathbb R)\)，则 \(k\) 次偏导顺序无关。

复合函数微分法

链式法则：

\(f(g(x))\) 求微分即 \(f'(g(x))g'(x)\)。

Thm（一阶全微分形式不变性）

无论是自变量还是中间变量，函数一阶全微分形式相同。

高阶微分不能乱来。

微分中值定理

Thm（微分中值定理）：

定义凸区域：（开）区域 \(D\) 内任意两点连线均包含与 \(D\)。

\(f:D\to \mathbb R\) 可微，则 \(\forall \mathrm x,\mathrm y\in D,\exists \xi\in [\mathrm x,\mathrm y]:f(\mathrm y)-f(\mathrm x)=\nabla f(\xi)\cdot (\mathrm y-\mathrm x)\)。

证明考虑拉出 \(x,y\) 连线 \(r(t)=(1-t)\mathrm x+t\mathrm y\)，\(r:[0,1]\to \mathbb R^n\)。

构造辅助函数 \(\varphi(t)=f(r(t))\)，\(\varphi:[0,1]\to\mathbb R\)。

有一元微分中值定理，知 \(\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\theta)\)。

\(\varphi'(\theta)=f'(r(\theta))r'(\theta)=\nabla f(r(\theta))\cdot (\mathrm y-\mathrm x)\)。

Cor:

\(D\) 为开区域，若 \(\nabla f\) 在 \(D\) 上恒为 \(0\)，则 \(f\) 恒为常数。

Thm（拟微分中值定理）：

\(f:D\to \mathbb R^n\) 可微，则 \(\forall \mathrm x,\mathrm y\in D,\exists \xi\in [\mathrm x,\mathrm y]:|f(\mathrm y)-f(\mathrm x)|\le |f'(\xi)|_2\cdot |\mathrm y-\mathrm x|\)

Jacobi 矩阵的 2 范数/ F 范数均可，2 范数更紧（最大奇异值）

泰勒公式

定义算子 \(\Delta x\cdot\nabla=\sum_{i=1}^n \Delta x_i\dfrac{\partial}{\partial x_i}\)。

有多元微分中值定理得到多元泰勒公式

若 \(f\) 在 \(x_0\) 某邻域有 \(0\to k\) 阶偏导连续：

\(f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\Delta x\cdot\nabla f(x_0)+\dfrac 1 2(\Delta x\cdot\nabla)^2 f(x_0)+\cdots+\dfrac{1}{k!}(\Delta x\cdot\nabla)^kf(x_0)+o(|\Delta x|^k)\)。

有手算实际意义的是前两阶展开，定义 Hesse 矩阵 \(\{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\}_{i\in[n],j\in[n]}\)，则 \(\dfrac 1 2(\Delta x\cdot\nabla)^2 f(x_0)=\dfrac{1}{2}\Delta x^\top \text{Hess}(f)(x_0)\Delta x\)。

Hesse 矩阵正定/负定/不定可以判定多元函数极值。

隐/反函数定理

\(F(\mathrm x,\mathrm y)=0\) 何时唯一决定 \(\mathrm y=f(\mathrm x)\)。

Thm（一般隐函数定理）：

\(F(\mathrm x,\mathrm y)=\vec 0\)，\(\mathrm x\in \mathbb R^n,\mathrm y\in\mathbb R^m,F:W\to \mathbb R^m\)。

若 \(F(\mathrm x_0,\mathrm y_0)=\vec 0\)，\(F\in C^1(W,\mathbb R^m)\)，\(F_y(\mathrm x_0,\mathrm y_0)\) 作为 \(m\times m\) 矩阵可逆，则：

存在开集 \(V\)，满足 \(\mathrm x_0\in V\)，\(\exists! f:V\to \mathbb R^m\)：

1. \(f(\mathrm x_0)=\mathrm y_0\)
2. \(\forall x\in V,F(x,y)=0\iff y=f(x)\)
3. \(f\in C^1(V,\mathbb R^m)\)，\(f'(x)=-[F_y(\mathrm x,f(\mathrm x))]^{-1}F_x(\mathrm x,f(\mathrm x))\)

反函数定理叙述几乎一致。

应用

1. 空间曲线的切线/法平面

   对于参数化表示的曲线 \(r(t)\)：

   • 切线

     \(P-r(t_0)=\lambda r'(t_0)\)，展开成分量形式 \(\dfrac{X-x(t_0)}{x'(t_0)}=\dfrac{Y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\dfrac{Z-z(t_0)}{z'(t_0)}\)。

   • 法平面

     \((P-r(t_0))\cdot r'(t_0)=0\)

   对于一般式方程 \(F(x,y,z)=G(x,y,z)=0\)：

   \(r'(t_0)\) 平行于 \(\nabla F(P_0)\times \nabla G(P_0)\)，求得 \(r'(t_0)\) 后容易求出切线和法平面。

2. 曲面的切平面/法线

   曲面一般方程 \(F(x,y,z)=0\)。\(F_x^2+F_y^2+F_z^2\ne 0\)，且均连续，则曲面称为光滑正则曲面。

   \(\vec n(M_0)=\nabla F(M_0)\)，切平面方程 \((P-M_0)\cdot \vec n(M_0)=0\)。

   对于曲面的参数化方程，\(r:D\to \mathbb R^3\)，\(\vec n(P_0)=\vec r_x(P_0)\times \vec r_y(P_0)\)。

3. 极值问题

   • 无条件极值

     Taylor 公式的应用

   • 条件极值

     Thm（拉格朗日乘数法）：

     \(\Omega\subset \mathbb R^n\) 为开集，\(f,g_1,g_2,\cdots,g_r\in C^1(\Omega,\mathbb R),r<n\)。

     若 \(x_0\) 是 \(f\) 在满足约束 \(g_1=g_2=\cdots=g_r=0\) 下的一个极值点。

     且 \(\begin{bmatrix}\nabla g_1(x_0)\\\nabla g_2(x_0)\\\vdots\\\nabla g_r(x_0)\end{bmatrix}\) 作为一个 \(r\times n\) 的矩阵满秩（\(x_0\) 附近张成了一张 \(n-r\) 维曲面）（可以使用隐函数定理，某 \(r\) 个变量唯一决定了其他 \(n-r\) 维）

     则 \(\exists \lambda_0=(\lambda_0^1,\lambda_0^2,\cdots,\lambda_0^r)\in \mathbb R^r\)，使得 \((x_0,\lambda_0)\in \mathbb R^r\) 作为辅助函数 \(L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{i=1}^r\lambda^ig_i(x)\) 的驻点。

4. 最小二乘法

   在线性代数课程中我们讨论过这个问题，从多元极值视角也可以得到解法。

   \(X\) 是 \(m\times n\) 的矩阵，里面放着 \(m\) 组自变量， \(Y\) 是一个 \(m\times 1\) 的向量，存放对应数据的因变量。

   \(\alpha=(X^\top X)^{-1}X^\top Y\)，拟合的结果是一个 \(n\times 1\) 的向量，表示每一维的系数。

重积分

回顾一元时黎曼积分的定义，试图推广至高维，我们遇到的唯一困难时定义"面积"。

定义 Jordan 测度，闭小矩形逼近。

Thm：

\(D\subset \mathbb R^2\) 可求面积 \(\iff\) \(\partial D\) 零面积。

Cor：

设 \(D\subset \mathbb R^2\) 有界，且 \(\partial D\) 由有限条分段光滑曲线组成，则 \(D\) 可求面积。

Thm：

\(f\in C(D)\)，则 \(f\in R(D)\)。

Thm（勒贝格定理）：

\(D\subset \mathbb R^n\) 上可求面积的有界闭区域，\(f\) 在 \(D\) 上有界，则：

\(f\in R(D)\iff f\) 在 \(D\) 上的不连续点零测。

我们需要发展关于重积分的计算，先讨论二重积分。

一个自然的想法是考虑累次积分。

• 二重积分的存在无法导出二次积分存在

  考察：

  \[f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac 1 m+\dfrac 1 p,(x,y)=(\dfrac n m,\dfrac q p)\\&0,\text{otherwise}\end{aligned}\right. \]

  二重积分存在，二次积分不存在。

• 二次积分存在无法导出二重积分存在。

  考察：

  \[f(x)=\left\{\begin{aligned}&1,(x,y)=(\dfrac n m,\dfrac q p)\\&0,\text{otherwise}\end{aligned}\right. \]

  二次积分存在，二重积分不存在。

而当知道存在性的前提下，二者紧密联系。

Thm(Fubini)：

设 \(D=[a,b]\times [c,d],f\in R(D)\)。

\(\forall x\in [a,b],h(x):=\int_c^df(x,y)\text d y\) 存在，则 \(h\in R[a,b]\) 且 \(\iint_D f\text d\sigma=\int_a^bh(x)\text dx=\int_a^b\int_c^df(x,y)\text dy\text dx\)。

非矩形面积可以做补充定义转化成二次积分。

坐标变换

Thm（二重积分变元替换）：

\(U\in \R^2\) 开，\(\varphi\in C^1(U,\R^2)\) 且双射。

\(\forall \vec u\in U:\det\varphi'(\vec u)\ne 0\)。

设 \(D\) 是 \(U\) 中具有分段光滑边界的有界闭区域。（知 \(\varphi(D)\) 有同样性质）

\(f\in C(\varphi(D),\R)\)。

\(\int_{\varphi(D)}f(x,y)\text{d}x\text d y=\int_Df(\varphi(u,v))\det(\begin{bmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{bmatrix})\text d u\text d v\)。

给出一些常用的坐标变换：

1. 二维极坐标变换：

   \(x=r\sin \theta\\y=r\cos\theta\)，\(\theta\in [0,2\pi]\)，变换系数为 \(r\)。

2. 球坐标变换

   \(x=\rho \sin \phi\cos\theta\\y=\rho\sin\phi\sin\theta\\z=\rho\cos\phi\)，\(\phi\in[0,\pi],\theta\in[0,2\pi]\)，变换系数是 \(\rho^2\sin\phi\)。

3. 柱坐标变换

   \(x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\\z=z\)，\(\theta\in[0,2\pi]\)，变换系数是 \(r\)。

反常重积分

与定积分面临同样的问题：区域有界、函数有界。

Def（穷竭列）：

设 \(D\subset \R^2\)，为一开区域，且 \(R>0,D\cap B_R(0)\) 可求面积，称一系列可求面积的有界闭集列 \(\{D_n\}\) 满足：

1. \(D_1\subset D_2\subset \cdots\subset D_n\subset\cdots\)。
2. \(\forall \text{紧集}K\subset D\exists m:K\subset D_m\)。

Def（反常重积分）：

\(f\) 在 \(D\) 上内闭可积，若 \(D\) 的任意穷竭列 \(\{D_n\}\) 有 \(\lim_{n\to\infty}f(x,y)\text dx\text d y=I\)，称 \(f\) 在 \(D\) 上反常可积，积分为 \(I\)。

Thm：

\(f\ge 0\)，则 \(f\) 在 \(D\) 上反常可积（绝对收敛） \(\iff\) \(\exists\text{穷竭列}\{D_n\}\exists M:\iint_{D_n}f\text dx\text d y<M\)。

Thm：

\(\iint_D|f|\text d x\text d y<\infty\iff\iint f\text d x\text d y\) 反常可积。

坐标变换不改变反常可积性。

泊松积分：

\(\iint_{\R^2}e^{-(x^2+y^2)}\text d x\text d y\)。

\(2\pi\int_{0}^\infty re^{-r^2}\text d r=\pi\)。

\((\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\text d x)^2=\pi\)，知 \(\int_{0}^\infty e^{-x^2}\text d x=\dfrac {\sqrt{\pi}}2\)。

第一类曲线与曲面积分

重要的是定义好曲线长度与曲面面积。

Def（可求长曲线）：

确定方向的曲线，对于一个划分，在划分点间用线段连接，任意划分折线长的上确界称为曲线长度。

对于正则曲线 \(\Gamma\)，有参数化 \(\vec r\in C^1([\alpha,\beta],\R^n)\)，\(\text{Length}(\Gamma)=\int_{\alpha}^\beta\|r'(t)\|\text d t\)。

Thm（第一类曲线积分）：

\(\Gamma\) 是正则曲线（\(\vec r\in C^1([\alpha,\beta],\R^n)\)），\(f\) 是定义在 \(\Gamma\) 上的有界函数。

\(\int_{\Gamma}f\text ds:=\int_\alpha^\beta f(r(t))\|\vec r'(t)\|\text d t\)。

Def（曲面面积）：

\(\Sigma\) 是一个正则曲面，有参数化 \(\vec r:D\subset \R^2\to \R^3\)

\(\iint_D\|\vec r_u\times \vec r_v(u,v)\|\text d u\text d v\)。

系数 \(\|\vec r_u\times \vec r_v(u,v)\|=\sqrt{EG-F^2}\)，其中 \(E=\vec r_u\cdot\vec r_u,G=\vec r_v\cdot\vec r_v,F=\vec r_u\cdot\vec r_v\)。

一般地，\(\R^n\) 中 \(\R^k\) 维曲面的面积：\(\int_D \sqrt{\det(r'^\top r')(u)}\text d u\)。

曲面由 \(z=f(x,y)\) 给出，上述系数即 \(\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\)。

Def（第一类曲面积分）：

\(\iint_{\Sigma}f\text d S:=\int_D f(r(u,v))\|\vec r_u\times \vec r_v(u,v)\|\text d u\text d v\)

第二类曲线与曲面积分

第一类积分的对象为多元函数，第二类考虑的是向量值函数。

Def（第二类曲线积分）：

\(\Gamma\) 是定向的正则曲线 \(\vec \tau(P)\) 是 \(P\in \Gamma\) 处与 \(\Gamma\) 方向一致的单位切向量，设 \(\vec F\in C(\Gamma,\R^3)\)。

定义 \(\vec F\) 在 \(\Gamma\) 上的第二类曲线积分为 \(\int_{\Gamma}\vec F\cdot \vec \tau\text d s\)。（用第一类曲线积分定义了第二类曲线积分）

若 \(\vec F=(P,Q,R)\)，也常将第二类曲线积分写作 \(\int_{\Gamma}P\text dx+Q\text dy+R\text d z\)。

这里将 \(\vec\tau \text ds\) 在三个坐标轴上的有向投影形式化的记作了 \(\text d x,\text d y,\text d z\)。

不同于第一类曲线积分，第二类曲线积分有方向性。

利用曲线的参数化，可以计算第二类曲线积分（根据第一类积分的计算容易得到）：

\(\int_{\Gamma}\vec f\cdot\vec\tau\text d s=\int_{\alpha}^\beta\vec f(\vec r(t))\vec r'(t)\text d t\)。

第二类曲线积分的一个重要物理场景是做功。

第二类曲面积分的一个重要物理场景是通量。

定义可定向。

Def（第二类曲面积分）：

\(\Sigma\) 正则且可定向，指定了一种定向 \(\vec n\)，设 \(\vec F\in C(\Sigma,\R^3)\)，定义 \(\vec F\) 在 \(\Sigma\) 上的第二类曲面积分为 \(\iint_{\Sigma}\vec F\cdot\vec n\text d S\)。（用第一类曲面积分定义了第二类曲面积分）。

若 \(\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),\vec F=(P,Q,R)\)，第二类曲面积分可以写成 \(\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\text d S\)。

形式化的，将 \(\vec n\text d S\) 记作 \((\text dy\and \text dz,\text d z\and \text dx,\text d x\and \text d y)\)。中间的楔积记号也可以省略。

由第一类曲面积分的计算公式，给定了 \(\Sigma\) 的参数化后，我们容易得到第二类曲面积分的计算公式：

\(\int_\Sigma\vec f\cdot\vec n\text d S=\pm\int_D\vec f(\vec r(u,v))\cdot(\vec r_u\times \vec r_v)\text d u\text v\)。

格林、高斯、斯托克斯公式

三个公式揭示了曲线、曲面积分之间的联系，都是牛顿莱布尼兹公式的推广，体现了关于被积区域取边界和关于被积对象取微分的某种对偶性。

Green 公式联系了平面上第二类曲线积分与二维重积分（平直的曲面积分）。

Gauss 公式联系了第二类曲面积分与三重积分。

Stokes 公式联系了空间中的第二类曲线积分与第二类曲面积分。

前一部分的被积几何对象是后一部分几何对象的边界。

Green 公式

对于 \(\R^2\) 上的有界闭区域 \(D\)，具有分段光滑边界，确定 \(D\) 的定向（向外/内）后，定义 \(\partial D\) 的诱导定向为头指向 \(D\) 的定向沿 \(\partial D\) 走使得 \(D\) 一直在左手边的方向。

定义简单闭曲线：一条没有自交点的闭曲线。

定义单连通区域：\(D\) 中任何一条简单闭曲线均不可以通过 \(D\) 外连续地收缩为一个点。

Thm（Green）：

设 \(D\subset \R^2\) 单连通有界闭区域，\(\partial D\) 为光滑简单闭曲线，且赋予诱导定向。\(P,Q\in C^1(D)\)。

\[\int_{\partial D}P\text d x+Q\text d y=\int_D(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y})\text d x\text d y \]

Rmk：非单连通 Green 也对。

通过 Green 公式可以研究第二类曲线积分何时与路径无关（类似保守力）：

Thm：

\(D\subset \R^2\) 为单连通区域，\(P,Q\in C^1(D)\)，则下列命题等价：

1. 对于 \(D\) 内任意一条分段光滑的闭曲线 \(L\)，有 \(\oint_L P\text d x+Q\text d y=0\)。
2. 曲线积分 \(\int_L P\text d x+Q\text d y\) 与路径无关。
3. 存在 \(D\) 上的可微函数 \(U(x,y)\) 使得 \(\text d U=P\text d x+Q\text d y\)，或等价地 \(\nabla U=(P,Q)\)。此时称 \(U\) 为 \(P\text d x+Q\text d y\) 的原函数。
4. 在 \(D\) 内有 \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\)。

Gauss 公式

Def（二维单连通区域）：

\(\Omega\subset \R^3\) 为一空间区域，若 \(\Omega\) 内的任一封闭曲面所围的立体仍包含于 \(\Omega\) 中，称 \(\Omega\) 为二维单连通区域。

通俗来说二维单连通区域中没有“洞”。

Thm（Gauss）：

\(\Omega\) 是 \(\R^3\) 中的二维单连通区域，由分片光滑曲面围成。设向量值函数 \(\vec F=(P,Q,R)\in C^1(\Omega)\)。\(\partial \Omega\) 的定向指向 \(\Omega\) 外。

\[\int_{\partial \Omega}\vec F\cdot \vec n\text d S=\int_{\Omega}\nabla\cdot \vec F\text d x\text d y\text dz \]

分量形式：

\[\int_{\partial \Omega}P\text d y\text d z+Q\text d z\text d x+R\text d x\text d y=\int_{\Omega}(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z})\text d x\text d y\text d z \]

Rmk：去掉二维单连通改成有界闭 Gauss 也是对的。

Stokes 公式

对于空间中具有分段光滑边界的、可定向、非封闭光滑曲面 \(\Sigma\)，给定定向后，类似定义 \(\partial \Sigma\) 的诱导定向：若头指向 \(\Sigma\) 的定向，沿 \(\partial \Sigma\) 走时 \(\Sigma\) 总是在左手边。

Thm（Stokes）：

设 \(\Sigma\) 是光滑、可定向曲面，具有分段光滑的边界 \(\partial \Sigma\)，且赋予了诱导定向。设向量值函数 \(\vec F=(P,Q,R)\) 在 \(\overline \Sigma\) 附近的开集上连续可微。

\[\int_{\partial \Sigma}\vec F\cdot\vec \tau \text ds=\int_{\Sigma}(\nabla\times \vec F)\cdot\text d \vec S \]

分量形式：

\[\int_{\partial \Sigma}P\text d x+Q\text d y+R\text d z=\int_{\Sigma}\left |\begin{matrix}\vec i&\vec j&\vec k\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{matrix}\right |\cdot(\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\text d S\\ =\int_{\Sigma}(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z})\text d y\text d z+(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x})\text d z\text d x+(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y})\text d x\text d y \]

外微分

引入外微分后，可以将上述公式统一起来。

函数项级数

讨论函数列 \(\{f_n(x)\}\) 的收敛，一个自然的定义是点态收敛，fix \(x_0\)，考察 \(\{f_n(x_0)\}\) 作为数列是否收敛。

若 \(\{f_n(x)\}\) 在 \(D\) 上收敛于 \(f(x)\)，有 \(\varepsilon-N\) 语言描述：\(\forall x\in D,\forall \varepsilon>0,\exist N\in \N,\forall n>N:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)。

这里需要强调的是 \(N\) 是关于 \(x,\varepsilon\) 的函数。

我们研究函数项级数 \(\{\sum_{i=1}^nu_i(x)\}\)，希望极限函数能保有一些重要分析性质（连续、可导、可积）。

而只有点态收敛，我们能举出这些分析性质无法保留的例子。我们需要加强条件。

一致收敛性

Def（一致收敛）：

设有函数列 \(\{f_n(x)\}\)，若有 \(f(x)\)，满足 \(\forall \varepsilon>0,\exists N\in \N,\forall n>N,\forall x\in D:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)，则称 \(\{f_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。

对于函数项级数，若其部分和函数列在 \(D\) 上一致收敛于 \(S(x)\)，则称函数项级数一致收敛。

点态收敛且不一致收敛：\(\exists \varepsilon>0,\{n_k\}\uparrow,\{x_k\}\subset D:|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\ge \varepsilon_0\)

我们需要发展一些判定一致收敛/不一致收敛的手段。

Thm（柯西一致收敛准则）：

\(\{f_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛的充要条件：\(\forall \varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n> N,\forall p\in \N,\forall x\in D:|f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\varepsilon\)。

对于函数项级数：\(\forall \varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n> N,\forall p\in \N,\forall x\in D:|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)|<\varepsilon\)。

可知函数项级数收敛的一个必要条件是 \(\{u_n(x)\}\) 一致收敛于 0。

Prop：

若 \(u_n(x)\in C[a,b]\)，且函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \((a,b)\) 一致收敛，则有 \(\sum u_n(a),\sum u_n(b)\) 均收敛，且 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 一致收敛。

若 \(u_n\in C[a,b]\) 且 \(\sum u_n(a)\) 或 \(\sum u_n(b)\) 不收敛，知 \(\sum u_n(x)\) 在 \((a,b)\) 不一致收敛。

Thm（确界极限）：

\(\{f_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x)\) 的充要条件：\(\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0\)。

对于函数项级数，\(\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}|\sum_{k=n+1}^\infty u_k(x)|=0\)。

Thm（点列极限）：

\(\{f_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x)\) 的充要条件：\(D\) 中任意数列 \(\{x_n\}\)，有 \(\lim_{n\to \infty}|f_n(x_n)-f(x_n)|=0\)。

这个条件比较适合反着来证不一致收敛。

一致收敛有点太牛了，有时候内闭一致收敛已经很够用。

Thm（Weierstrass 判别法）：

设函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 满足：\(\forall n\in\N,\forall x\in D\)，有 \(|u_n(x)|\le M_n\)，且 \(\sum_{n=1}^\infty M_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。

\(\sum_{n=1}^\infty M_n\) 也称为 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 的控制级数/优级数。证明过程也可以得到绝对一致收敛。

绝对收敛+一致收敛不一定绝对一致收敛。

Thm（Abel-Dirichlet 判别法）：

\(\{u_n(x)\},\{v_n(x)\}\) 满足下列之一条件，则 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。

1. （Abel）\(\forall x\in D:\{v_n(x)\}\) 关于 \(n\) 单调，且在 \(D\) 上一致有界，\(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。
2. （Dirichlet）\(\forall x\in D:\{v_n(x)\}\) 关于 \(n\) 单调，且在 \(D\) 上一致趋于 0，\(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 的部分和在 \(D\) 上一致有界。

一致收敛函数项级数的性质

Thm（连续性）：

设 \(D\) 为区间，\(f_n(x)\in C(D),n\in \N,\) 且 \(\{f_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x)\)，则 \(f(x)\in C(D)\)。

定理条件下，极限顺序可以交换：\(\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to \infty}f_n(x)=\lim_{n\to \infty}\lim_{x\to x_0} f_n(x_0)\)。

函数项级数形势下的连续性定理：

设 \(D\) 为区间，\(u_n(x)\in C(D),n\in \N\)，且 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛到 \(S(x)\)，则有 \(S(x)\in C(D)\)。

定理条件下，极限与无穷求和可交换：\(\lim_{x\to x_0}\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\lim_{x\to x_0}u_n(x)\)。

连续作为一个局部性质，连续性定理条件可以减弱为 \(D\) 上内闭一致收敛。

定理证明是一个三段论。

连续性定理的逆定理（由极限函数连续推函数列一致收敛）不成立，我们自然好奇增强怎样的条件可以得到一致收敛。

反例：\(f_n(x)=x^n,x\in(0,1)\)，\((1-\dfrac 1 n)^n\to \dfrac 1 e\)。

Thm（Dini 定理）：

函数列 \(\{f_n(x)\}\) 满足：

1. \(\forall n\in\N:f_n(x)\in C[a,b]\)。
2. \(\forall x\in [a,b]:f_n(x)\) 关于 \(n\) 单调。
3. \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上点态收敛于连续函数 \(f(x)\)。

则 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。

证明利用有限开覆盖。

Thm（积分号下求极限）：

\(f_n(x)\in C[a,b]\)，且 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)，则有 \(\int_a^b f(x)\text d x=\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x)\text d x\)。

Prop（逐项可积性）：

\(u_n(x)\in C[a,b]\)，且 \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(S(x)\)，则有 \(\int_a^b S(x)\text d x=\sum_{n=1}^\infty \int_a^b u_n(x)\text d x\)。

即极限运算于无限求和可以交换顺序。

Thm（微分号下取极限）：

\(\{f_n(x)\}\) 满足：

1. \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上点态收敛于 \(f(x)\)。
2. \(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上有连续导数。
3. \(\{f'_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛。

则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有连续导数且 \(f'(x)=\dfrac {\text d}{\text d x}\lim_{n\to \infty}f_n(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac {\text d}{\text d x}f_n(x)\)。

即微分与极限交换顺序。

Prop（逐项可微性）：。。。

类似于连续性，由于可导性也是一个局部性质，内闭一致收敛就足够了。

幂级数

Thm（Cauchy-Hadamard）：

对于幂级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n x^n\)，令 \(\rho=\overline \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)。

1. \(\rho\in (0,\infty)\) 时，幂级数在 \((-\dfrac 1 \rho,\dfrac 1 \rho)\) 上绝对收敛。
2. \(\rho=0\) 时，幂级数在 \(\R\) 上绝对收敛。
3. \(\rho=\infty\) 时，幂级数仅在 \(\{0\}\) 上收敛。

称 \(r=\dfrac 1 \rho\) 为幂级数的收敛半径。

注意 \(\pm r\) 处是否收敛需要进一步的判断。

收敛半径还可以用比值法计算 \(r=\lim_{n\to\infty}|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}|\)。

幂级数一个非常好的性质是收敛域为一个区间。

下面介绍更多幂级数的性质。

Thm（阿贝尔第一定理）：

若幂级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)：

1. 在点 \(x_1\) 处收敛，则 \(|x|\lt|x_1|\) 时，幂级数绝对收敛；
2. 在点 \(x_2\) 处发散，则 \(|x|\gt |x_2|\) 时，幂级数发散。

Thm（阿贝尔第二定理）：

幂级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在其收敛域上内闭一致收敛。

这是幂函数非常夯的性质，意味着我们上一章发展的一致收敛性质均可以使用。

下面定理确定了幂级数与其导数级数/积分级数的关系。

Thm：

\(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛半径与其导数级数 \(\sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}\)，与积分级数 \(\sum_{n=0}\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\) 有相同的收敛半径。

端点处敛散性不一定相同。

Thm：

幂级数和函数收敛域上连续、逐项可积、逐项可微。

通过上面几个定理容易证出这个核心结论。

Def（泰勒级数）：

设 \(f\) 在 \(x_0\) 处无穷次可导，我们称幂级数 \(\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\) 为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的泰勒级数，记为 \(f(x)\sim \sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)。

我们想知道什么时候 \(\sim\) 可以写成 \(=\)。

由 \(f(x)=\sum_{n=0}^m\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_m(x)\)，\(\lim_{m\to\infty} R_m(x)=0\) 是充要条件。

但显然这很不好用，给出一个充分条件：\(|f^{(n)}(x)|\) 在区间上一致有界。

Thm（唯一性）：

若函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处可展开为幂级数，则其展开式必唯一，且就是 \(f\) 在 \(x_0\) 处的泰勒级数。

一些重要的幂级数展开：

\((1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{\underline n}}{n!}x^n\)

特别的 \(\dfrac 1 {\sqrt{1-x}}=1+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n\)。

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}x^n\)

\(\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\)

\(\sin x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\)

\(\cos x=\sum_{n=0}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\)

\(\arctan x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\)

斯特林公式 \(n!\sim \sqrt{2n\pi}(\dfrac{n}{e})^n\)。

傅里叶级数

三角，牛牛牛。

三角函数系的正交性：

1. \(\int_{-\pi}^\pi\cos nx\sin mx\text d x=0\)，对于 \(m,n\in\N\) 成立。
2. \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\text{d} x=\left\{\begin{aligned}&0,m\ne n\\&\pi,m=n\ne 0\end{aligned}\right.\)
3. \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\text{d} x=\left\{\begin{aligned}&0,m\ne n\\&\pi,m=n\ne 0\end{aligned}\right.\)

Def（傅里叶级数）：

\(f(x)\sim \dfrac {a_0} 2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx+b_n\sin nx\)。（三角级数）

欧拉-傅里叶公式：

\[a_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\text d x\\ b_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\text d x \]

\(f\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，在 \([-\pi,\pi]\) 上可积与绝对可积。称上述三角级数为 \(f\) 的傅里叶级数。

Def（正弦/余弦级数）：

对于周期为 \(2\pi\) 的可积与绝对可积的奇函数，\(f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx\)，称为 \(f\) 的正弦级数。

同理，若 \(f\) 为偶函数，\(f(x)\sim \dfrac{a_0} 2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx\)，称为 \(f\) 的余弦级数。

特别的，由于改变有限个点的取值不影响积分值，故 \(f\) 除有限个点外满足奇/偶定义，其傅里叶级数仍未正弦/余弦级数。

对于定义在 \([0,\pi]\) 的函数 \(f\)，先做奇延拓再以 \(2\pi\) 为周期做周期延拓，所得傅里叶级数称为 \(f\) 的正弦级数。

同理，做偶延拓再做周期延拓，所得傅里叶级数称为 \(f\) 的余弦级数。

对于周期为 \(2l\) 的函数进行傅里叶展开：\(f(x)\sim\dfrac{a_0} 2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\dfrac {n\pi}l x+b_n\sin\dfrac{n\pi}{l}x\)。

\(a_n=\dfrac 1 l\int_{-l}^lf(x)\cos\dfrac{n\pi}{l}\text d x\)

\(b_n=\dfrac 1 l\int_{-l}^lf(x)\sin\dfrac{n\pi}{l}\text d x\)

Rmk：

傅里叶级数可以统一成更好看的复数形式：

令 \(\omega=\dfrac \pi l\)，称为基频。

\(c_n=\dfrac{a_n-ib_n}{2}=\dfrac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x)e^{-in\omega x}\text d x\)。

\(c_{-n}=\dfrac{a_n+ib_n}{2}=\dfrac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x)e^{in\omega x}\text d x\)

\(f(x)\sim \sum_{-\infty}^\infty c_ne^{in\omega x}\)。

定义好了傅里叶级数之后，我们关心其收敛性：

1. 由 Riemann-Lebesgue 可以保证 \(a_n,b_n\to 0\) 成立。
2. 可以证明 \(a_n,b_n\) 的收敛速度不错，\(f\in C^k\) 有 \(a_n,b_n=o(\dfrac 1 {n^k})\)；\(f\) 分段线性且连续，有 \(a_n,b_n=o(\dfrac 1{n^2})\)。

傅里叶级数的收敛性

考察 \(f\) 的 \(n\) 阶傅里叶多项式 \(S_n(f,x)=\dfrac{a_0}2+\sum_{k=1}^na_k\cos kx+b_k\sin kx\)。

代入 \(a_k,b_k\) 的表达式，做一步积化和差，有：\(S_n(f,x)=\dfrac 1 \pi\int_{-\pi}^\pi f(t)[\dfrac 1 2+\sum_{k=1}^n\cos k(x-t)]\text d t\)。

称 Dirichlet Kernel \(D_n(u)=\dfrac 1 2+\sum_{k=1}^n\cos ku=\dfrac{\sin\dfrac{2n+1}{2}u}{2\sin\dfrac u 2}\)。

Dirichlet Kernel 有一些好的性质：\(\int_{-\pi}^\pi D_n(u)\text d u=\pi\)

\[S_n(f,x)=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_n(x-t)\text d t\\ \text{Let } u=x-t\\ S_n(f,x)=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-u)D_n(u)\text d u \]

称为 Dirichlet 积分。

进一步改写成：

\[S_n(f,x)=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^\pi (f(x-u)+f(x+u))D_n(u)\text d u \]

我们希望分析 \(S_n(f)\) 与 \(S\) 直接的距离：\(S_n(f,x)-\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\)

\[\dfrac{1}{\pi}\big[\int_{0}^\pi (f(x+u)-f(x+0))D_n(u)\text d u+\int_{0}^\pi (f(x-u)-f(x-0))D_n(u)\text d u\big] \]

Thm（局部性定理）：

\(f\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，且在 \([-\pi,\pi]\) 上可积与绝对可积，则 \(f\) 的傅里叶级数在 \(x_0\) 的收敛性只与 \(f\) 在 \(x_0\) 的任意小领域有关。

\(\forall \delta>0\)，\((\delta,\pi)\) 上的积分 \(\dfrac{1}{\pi}\int_{\delta}^\pi \dfrac{f(x-u)+f(x+u)}{2\sin\dfrac u 2}\sin\dfrac{2n+1}{2}u\text d u\)，由 R-L 引理知为 0。

若下面的表达式成立，则级数收敛到 \(f\)。

\[\dfrac{1}{\pi}\big[\int_{0}^\delta \dfrac{f(x+u)-f(x+0)}{u}\sin\dfrac{2n+1}{2}u\text d u+\int_{0}^\delta \dfrac{f(x-u)-f(x-0)} u\sin\dfrac{2n+1}2 u\text d u\big]=0 \]

Thm（判别法）：

\(f\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，在 \([-\pi,\pi]\) 上可积与绝对可积，且满足下列条件之一，则 \(f\) 的傅里叶级数在 \(x\) 收敛到 \(\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\)。

1. （狄利克雷-若尔当）\(f(x)\) 分段可导或分段单调。
2. （迪尼-利普希茨）\(f(x)\) 在点 \(x\) 满足 \(\alpha\in (0,1]\) 的 Holder 条件，即 \(\exists L>0,\delta>0,\forall u\in(0,\delta):|f(x\pm u)-f(x\pm 0)|\le L u^\alpha\)。

\(\sum_{n=1}^\infty\dfrac 1{n^2}=\dfrac {\pi^2}6\)。

傅里叶级数的性质

最后我们来讨论一下傅里叶级数的分析性质和逼近性质。

Thm（逐项可积性）：

\(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积与绝对可积，其傅里叶级数 \(f(x)\sim \dfrac {a_0} 2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx+b_n\sin nx\)。

则 \(\forall x\in[-\pi,\pi]:\int_0^x f(t)\text d t=\dfrac {a_0}2 x+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{n}\sin n x-\dfrac{b_n}{n}\cos nx+\dfrac{b_n}n\)

Prop：

对于三角级数 \(\dfrac {a_0} 2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx+b_n\sin nx\)，如果是某个函数的傅里叶级数，则有级数 \(\sum_{n=1}^\infty\dfrac{b_n} n\) 收敛。

反过来如果 \(\sum_{n=1}^\infty\dfrac{b_n} n\) 不收敛，那么上述三角级数一定不是对应和函数的傅里叶级数。

Thm（逐项可微性）：

\(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上连续，\(f(-\pi)=f(\pi)\)，且除有限个点外可导，\(f(x)\sim \dfrac {a_0} 2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx+b_n\sin nx\)。

若 \(f'(x)\) 可积与绝对可积，其傅里叶级数可以由 \(f(x)\) 的傅里叶级数逐项求导得到。

\(f'(x)\sim \sum_{n=1}^\infty -na_n\sin nx+n b_n\cos nx\)。

然后我们讨论傅里叶级数的逼近问题

Def（三角多项式）：

对于 \(n\in\N\)，形如 \(\dfrac{\alpha_0}2+\sum_{k=1}^n\alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx\) 的函数称为 \(n\) 阶三角多项式。

记所有 \(n\) 阶三角多项式构成的几何为 \(\mathbb T^n\)。

Def（可积与平方可积）：

若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上黎曼可积或者瑕积分 \(\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\text d x\) 收敛，称 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积与平方可积。

记 \([-\pi,\pi]\) 上所有可积与平方可积函数的全体为 \(L^2[-\pi,\pi]\)。

容易验证 \(\mathbb T^n,L^2[-\pi,\pi]\) 是线性空间，且 \(\mathbb T^n\) 是 \(L^2[-\pi,\pi]\) 的子空间。

定义内积 \(\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\text d x\)，导出范数 \(\|f(x)\|=\sqrt{\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\text d x}\)。

导出距离 \(d(f,g)=\sqrt{\int_{-\pi}^\pi(f(x)-g(x))^2\text d x}\)。

由三角函数系的正交性，我们知道 \(\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\dfrac{\cos x}{\sqrt \pi},\dfrac{\sin x}{\sqrt\pi},\cdots,\dfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}},\dfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}\}\) 是 \(\mathbb T^n\) 的一组标准正交基。

记 \(d(f,\mathbb T^n)\) 为 \(f\) 到 \(\mathbb T^n\) 的距离，定义为 \(\inf_{g\in \mathbb T^n}d(f,g)\)。

若存在能取到下确界的函数，称为 \(f\) 在 \(\mathbb T^n\) 中的投影/最佳逼近元素。

Thm（最佳逼近）：

\(f\in L^2[-\pi,\pi]\)，\(S_n(f,x)\) 是 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶傅里叶多项式，则 \(S_n(f,x)\) 是 \(f\) 在 \(\mathbb T^n\) 中的最佳逼近元素。

Prop（Bessel 不等式）：

\(f\in L^2[-\pi,\pi]\)，则 \(\dfrac{a_0^2}2+\sum_{n=1}a_n^2+b_n^2\le \dfrac 1 \pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\text d x\)。

Prop：

\(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上除有限个点外可导，而在这有限个点处单侧可导，且 \(f(-\pi)=f(\pi)\)，又 \(f'(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上黎曼可积，则 \(f\) 的傅里叶级数在 \([-\pi,\pi]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。

Def（平方平均收敛）：

\(f\in L^2[-\pi,\pi]\)，为任一给定函数，若存在 \(\{f_n\}\subset L^2[-\pi,\pi]\)，使得 \(\lim_{n\to\infty} \|f-f_n\|^2=0\) 则称 \(\{f_n(x)\}\) 平方平均收敛于 \(f(x)\)。

Thm（Parseval 等式）：

\(f\in L^2[-\pi,\pi]\)，则 \(f(x)\) 的傅里叶多项式构成的三角多项式列 \(\{S_n(f,x)\}\) 平方平均收敛于 \(f(x)\)，即 \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^\pi(f(x)-S_n(f,x))^2\text d x=0\)。

等价于 \(\dfrac{a_0^2}2+\sum_{n=1}a_n^2+b_n^2= \dfrac 1 \pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\text d x\)。

Parseval 等式也被称作能量等式。

Prop：

\(f\) 是 \([-\pi,\pi]\) 上的连续函数，且与三角函数系 \(\{1,\cos x,\sin x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots\}\) 中每一个函数正交，则有 \(f(x)\equiv 0\)。

证明考虑使用 Parseval 等式。

Prop（唯一性）：

\(f,g\) 是 \([-\pi,\pi]\) 上的连续函数，若 \(f,g\) 有相同的傅里叶系数，则 \(f\equiv g\)。

相减用上一个推论即可。