数学分析 I

数分复习

博主明天就要考数分了/ll

数列极限

Stolz 定理

1. \(*/\infty\)

   \(\{y_n\}\) 严格增，\(\lim_{n\rightarrow\infty} y_n=+\infty\)，若 \(\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=A\) 存在，则 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=A\)。

2. \(0/0\)

   \(\{y_n\}\) 单调趋于 \(0\)，\(x_n\rightarrow 0\)，其余相同。

实数

构造

十进制小数，戴德金分割。

确界存在定理（连续性）

\(S\subset \R\)，\(S\) 有上界（下界），则 \(\sup S\)（\(\inf S\)）存在。

单调有界数列必收敛

确界存在定理知有上确界，说明这个确界就是极限即可。

Bolzano–Weierstrass (BW)

有界数列必有收敛子列。

Lemma: 单调子列存在，再用单调有界数列必收敛得证。

闭区间套定理

常用二分法。

柯西收敛原理（完备性）

数列收敛的等价描述：\(\forall \epsilon>0,\exist N>0,\forall m,n>N:|x_n-x_m|<\epsilon\)。

不需要知道数列极限的具体值也可以描述收敛。

有限开覆盖定理

\([a,b]\subseteq \cup_{\lambda\in \Lambda}(a_\lambda,b_\lambda)\)，存在有限个开集覆盖这个闭区间。

函数极限与连续

\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\)，不关心 \(f\) 是否在 \(x_0\) 处有定义。

海涅定理

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall {x_n}\rightarrow x_0,\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=A $。

柯西收敛准则

一个 \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\) 存在的等价条件：

\(\forall \epsilon >0,\forall \delta>0,\forall x,y\in B_{\delta}(x_0)/ \{x_0\}:|f(x)-f(y)|<\epsilon\)。

连续与间断

\(C[a,b]\) 的性质

1. 有界性
2. 最值定理
3. 零点存在定理
4. 介值定理

一致连续

\(\forall \epsilon >0,\exist \delta>0,\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta:|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\)。

判断不一致连续：\(\exist \{x_n\},\{y_n\},\lim_{n\rightarrow \infty}x_n-y_n=0:\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)-f(y_n)\neq0\)。

康托定理

\(f\in C[a,b]\rightarrow f\in U.C[a,b]\)。

有限开覆盖可证。

一元微分学

微分中值定理

注意要求在闭区间上有连续性。

Rolle 中值定理：\(f\in C[a,b]\)，\(f\) 在 \((a,b)\) 可导，\(f(a)=f(b)\)，则 \(\exist \xi\in(a,b):f'(\xi)=0\)。
证明需要 Fermat 引理（\(f\) 在 \(x_0\) 处可导且是极值点，有 \(f'(x_0)=0\)），然后用连续函数的最值定理。

Lagrange 中值定理：\(f\in C[a,b]\)，\(f\) 在 \((a,b)\) 可导，则 \(\exist \xi\in(a,b):f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。
给原函数减去一个线性函数变成罗尔即可。

Cauchy 中值定理： \(f,g\in C[a,b]\)，\(f,g\) 在 \((a,b)\) 可导且 \(g'(x)\neq 0\)，则 \(\exist \xi\in(a,b):\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。
证明思路是参数化，减一个线性函数变成罗尔。

达布定理 Darboux

导函数介值性：导函数不一定连续，但一定有介值性。

洛必达法则

充分性定理，若能洛出来极限，那么能求出原极限。

泰勒公式

Peano 余项：\(f^{(n)}(x)\) 存在，泰勒展开到 \(n\) 次项余项是 \(o((x-x_0)^n)\). 证明可以 \(n-1\) 次洛必达。

Lagrange 余项：要求闭区间上 \(n\) 阶导存在，开区间 \(n+1\) 阶导存在。

\(f(x_0+h)=\sum_{i=0}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}h^i+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1},\xi\in(x_0,x_0+h)\).

Cauchy 余项：

\(f(x_0+h)=\sum_{i=0}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}h^i+\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\theta h)}{n!}h((1-\theta)h)^{n},\theta\in(0,1)\).

泰勒公式唯一性：若 \(f^{(n)}(x)\) 存在，\(n\) 次泰勒展开唯一。
复合函数泰勒展开，反函数泰勒展开，都是体力活。

\(\arctan x=\sum_{k=0}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\). 实用：\(x-\dfrac 1 3 x^3+O(x^5)\).

\(\arcsin x=\sum_{k=0}\dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\). 使用：\(x+\dfrac 1 6 x^3+O(x^5)\).

应用

一些神秘不等式，凸性。

不定积分

重要恒等式：\(\sec^2 x-1=\tan^2 x\).

分部积分：反对幂三指，\(dx\) 优先与靠后的结合。

重要不定积分：

1. \(\int\dfrac 1{1+x^2}dx=\arctan(x)+C\).

2. \(\int\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin(x)+C\).

   \(\arcsin(x)+\arccos(x)=\dfrac\pi 2\).

3. \(\int \dfrac 1{\sin x}dx=\ln|\csc x-\cot x|+C\).

   感觉很难记住，但要会推。

   \(\int\dfrac {\sin x} {\sin^2 x}dx=\int\dfrac{d(-\cos x)}{1-\cos^2 x}\)

   换元 \(\cos x\) 变成有理多项式积分，容易处理。

   \(\dfrac 1{\cos x}\) 积分是一摸一样的套路。

   用有理多项式积分的观点还可以万能公式换元，即 \(t=\tan \dfrac x 2\).

   可以得到 \(\int \dfrac 1{\sin x}dx=\ln |\tan \dfrac x 2|+C\).

4. \(\int\dfrac 1{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\).

   推导思路是换元 \(x=a\tan t\) 把根号开出来，然后会变成 \(\sec\) 的积分， 3 已经提及。

   \(\int \dfrac 1{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\) 这个也差不多。

一元积分学

勒贝格定理（Lebesgue）

设 \(f\) 在 \([a,b]\) 有界，\(f\in R[a,b]\) 的充分必要条件是 \(f\) 的不连续点为零测集。

Def(零测集)：设 \(E\in \R\), 若 \(\forall \epsilon>0,\exist\text{至多可数个开区间}\{I_n\}:E\subset \cup I_n,\sum |I_n|<\epsilon\). 称 \(E\) 为一个零测集。

积分第一中值定理

\(f,g\in R[a,b]\), \(g\) 在 \([a,b]\) 上不变号，则：

\(\exist \lambda \in[\inf f,\sup f]:\int_a^b f(x)g(x)dx=\lambda\int_a^b g(x)dx\).

证明考虑积分保序性，也是要求 \(g\) 不变号的原因。

变上限积分求导

\(f\in R[a,b]\), Def \(F(t)=\int_a^t f(x)dx\)，有 \(F\in C[a,b]\)，若 \(x_0\) 为 \(f\) 连续点，知 \(F'(x_0)=f(x_0)\).

泰勒公式积分余项

不停分部积分可以得到泰勒公式的积分余项版本：

\(f(x)=\sum_{i=0}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+\int_{x_0}^{x}\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt\).

由积分第一中值定理可以得到拉格朗日余项。

积分第二中值定理

分部积分离散版本（Abel 变换）：对于两数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\)，记 \(\{B_n\}\) 为 \(b\) 的部分和。

\(\sum_{i=1}^na_ib_i=\sum_{i=1}^na_i(B_i-B_{i-1})=a_nB_n-\sum_{i=1}^{n-1}B_i(a_{i+1}-a_i)\).

积分第二中值定理：

\(f\in R[a,b]\), \(g\) 单调，\(g'\in R[a,b]\)，则 \(\exist \xi\in[a,b]:\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_\xi^bf(x)dx\).

\(f\in C[a,b]\) 可以直接分部积分+积分第一中值定理证明。

\(f\in R[a,b]\) 的版本需要用划分的语言和 Abel 变换证明。

黎曼引理

\(f\in R[a,b]\), 则 \(\lim_{\lambda\to +\infty}\int_a^b f(x)\sin(\lambda x) dx=0\).

改成 \(\cos\) 也对。

推广黎曼引理：\(f\in R[a,b]\), \(g\) 是以 \(T\) 为周期的函数，\(g\in R[0,T]\)，则：

\(\lim_{\lambda\to +\infty}\int_a^bf(x)g(\lambda x)dx=\dfrac 1 T\int_0^Tg(x)dx\int_a^bf(x)dx\).

应用

1. 曲线弧长

   直角坐标系下：形式记号 \(dl=\sqrt{dx^2+dy^2}\).

   极坐标系下：形式记号 \(dl=\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}d\theta\).

2. 极坐标下平面图形面积

   \(r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]\).

   \(S=\dfrac 1 2\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta\). 物理微元法容易记忆。

   严谨数学证明需要考虑角度的划分，用扇形面积公式刻画达布上下和取极限。

反常积分

非负函数：比较判别法，由已知到未知。

一般函数：Abel-Dirichlet 判别法

\(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx\) 收敛的两个充分条件。

1. (Abel): \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 收敛，\(g\) 单调有界。
2. (Dirichlet): \(F(A)=\int_a^Af(x)dx\) 有界，\(g\) 单调趋于 \(0\).

数项级数

上下极限

\(H=\limsup_{n\to +\infty}x_n\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\forall \varepsilon>0,\exist\{x_n\}\text{中无穷项}> H-\varepsilon\\\forall \varepsilon>0,\exist N,\forall n>N:x_n<H+\varepsilon\end{matrix}\right.\).

下极限类似。

判别法

平行于反常积分。

正项级数本质的判别法是比较判别法，基于经典的比较对象发展出了根式、商式等判别法。

1. 根式判别法：

   对于正项级数 \(\sum_{i=1}^\infty x_i\), \(\lambda=\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{x_n}\).

   \(\lambda>1\), 则级数发散，\(\lambda<1\) 则级数收敛。

2. 商式判别法：

   \(\limsup_{n\to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}<1\) 知级数收敛，\(\liminf_{n\to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}>1\) 知级数发散。

3. 积分判别法：

   \(f:[1,+\infty)\to\R,f\ge 0,f\downarrow\).

   \(x_n=f(n)\)，知 \(\sum_{n=1}^\infty x_n\) 与 \(\int_1^{+\infty} f(x)\mathrm dx\) 同敛散。

4. Raabe 判别法：

   \(\liminf_{n\to \infty}n(\dfrac{x_n}{x_{n+1}}-1)>1\) 知级数收敛，\(\limsup_{n\to\infty}n(\dfrac{x_n}{x_{n+1}}-1)<1\) 知级数发散。

5. Gauss 判别法：

   同 \(\dfrac{1}{n(\ln n)^p}\) 比较，试图提取 \(p\) 信息。

   考察 \(n\ln n(\dfrac{x_n}{x_{n+1}}-1-\dfrac 1 n)\) 即可。

一般级数判别法平行于反常积分。

1. Leibniz 级数

   \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^nu_n\),\(u_n>0,u_n\downarrow 0\) 称为 Leibniz 级数。

   Leibniz 级数收敛。

2. Abel-Dirichlet 判别法

   \(\sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n\) 收敛的两个充分条件。

   • (Abel) \(\sum_{n=1}^{\infty} x_n\) 收敛，\(y_n\) 单调有界。
   • (Dirichlet) \(X_N=\sum_{n=1}^Nx_n\) 有界，\(y_n\) 单调趋于 \(0\).

无穷乘积

\(\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\) 收敛的一个必要条件是 \(\lim_{n\to \infty} a_n=0\).

1. 若 \(a_n\) 保号，则无穷乘积收敛的充要条件是 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛。
2. 若 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，无穷乘积收敛的充要条件是 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2\) 收敛

考虑去对之后用 \(\ln(1+x)\) 的渐进估计。