LGV引理学习笔记

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引理内容

对于一个 \(DAG\)，记一条路径 \(P\) 的权值为 \(w(P)\)

\(e(u,v)\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 每一条路径的权值之和

给定两个大小均为 \(n\) 的起点/终点集合 \(A,B\)

一组 \(A\to B\) 的不相交路径 \(S\) ，满足\(S_i\) 是一条从 \(A\) 到 \(B_{\sigma(S)_i}\) 的路径

对于任意 \(i\neq j\)，\(S_i\) 与 \(S_j\) 没有公共顶点

一组 \(A\to B\) 的不相交路径 \(T\) ，满足\(T_i\) 是一条从 \(A\) 到 \(B_{\sigma(T)_i}\) 的路径

存在 \(i\neq j\)，\(T_i\) 与 \(T_j\) 有公共顶点

一组 \(A\to B\) 的路径 \(D\)，满足 \(D_i\) 是一条从 \(A_i\) 到 \(B_{\sigma(D)_i}\) 的路径

\(W(D)\) 表示一组路径 \(D\) 的权值之积，即 \(W(D)=\prod_iw(D_i)\)

\(\tau(\sigma)\) 表示排列 \(\sigma\) 的逆序对数

定义矩阵 \(M\)，满足 \(m_{i,j}=e(A_i,B_j)\)

那么 \(\det(M)=\sum_{S:A\to B}(-1)^{\tau(\sigma(S))}W(S)\)

右式即不相交路径带系数 \((-1)^{\tau(\sigma(S))}\) 的条数

证明

观察 \(\det(M)\) 是什么

\[\det(M)=\sum_{P}(-1)^{\tau(P)}\prod_{i}e(A_i,B_{p_i})\\ =\sum_P(-1)^{\tau(P)}\prod_i\sum_{D_i:A_i\to B_{p_i}}w(D_i)\\ =\sum_P(-1)^{\tau(P)}\sum_{D:A\to B}W(D)\\ =\sum_{D:A\to B}(-1)^{\tau(\sigma(D))}W(D) \]

目前的形式与引理右式基本相同，唯一的区别在于枚举的路径组的定义不同

左式为任意路径组，右式为不交路径组

显然任意路径集合等于不交路径集合与交路径集合的并，继续拆开左式

\[\sum_{D:A\to B}(-1)^{\tau(\sigma(D))}W(D)=\sum_{S:A\to B}(-1)^{\tau(\sigma(S))}W(S)+\sum_{T:A\to B}(-1)^{\tau(\sigma(T))}W(T) \]

我们等于证明 \(\sum_{T:A\to B}(-1)^{\tau(\sigma(T))}W(T)=0\)

记 \(\texttt{T}\) 为交路径组集合，我们希望构建一个 \(\texttt{T}\to\texttt{T}\) 的双射 \(f\)

满足对于任意一个交路径组 \(T\)，满足 \((-1)^{\tau(\sigma(T))}+(-1)^{\tau(\sigma(f(T)))}=0\)，且 \(f(f(T))=T\)

我们考虑在路径组 \(T\) 中找到最小的两个元素 \((i,j)\)，满足 \(T_i\) 与 \(T_j\) 有交

我们找到两条路径的最后一个交点，交换最后一半的路径走法，得到一个新的路径组 \(T'\)

对于 \(\sigma(T')\)，其相当于交换 \(\sigma(T)_i,\sigma(T)_j\) 后的结果

对于一个排列 \(P\)，有经典结论：交换任意不同的两个位置，\(\tau(P)\) 的变化量为奇数

又有对于路径组 \(T'\)，其中最小两个相交的路径仍为 \((i,j)\)

综上，我们得到 \(f(T)=T',f(T')=T\)，满足上述需求

引理得证