随笔分类 - 组合数学
我眼中所见皆是我之所属，我心中所向尽为我之地界
摘要：ABC313，逆天 为了 ABC313G，来学一下最简单形式的类欧算法。 类欧几里得算法似乎和欧几里得唯一的共性是复杂度证明。 形式化的，我们需要计算 $f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\lfloor \dfrac{ai+b}{c}\rfloor$。 首先，如果 $a\ge c$ 或者
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摘要：#### GCD & exGCD 首先我们考虑辗转相除法的过程，因为 $(a,b)=(b \bmod a,a)(0<a<b)$，$(0,b)=b$，所以我们就可以每次将 $b$ 转化为严格更小的 $b$ 的问题。归纳则得到答案。 现在我们考虑扩欧的过程，我们需要对 $ax+by=1$ 找到一组解。那
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摘要：### 二分图匹配和霍尔定理 #### 相异代表系 我们用一个相异代表系描述二分图匹配问题。我们有若干个集合 $\{S_1,S_2,S_3,\cdots,S_m\}$，现在要给每个集合选定一个代表 $x_i\in S_i$，并且每个 $x_i$ 是相异的。 容易发现这个问题和二分图匹配问题是等价的。
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摘要：My solution 首先，我们考虑最暴力的 $dp$，设 $dp_{i,j}$ 表示当前处理到第 $i$ 位，目前序列尾部是 $j$ 的方案数。这个 $dp$ 的转移是很容易的。$dp_{i,j}=\sum_{k=1}^{a_{i-1}}[k\neq j]dp_{i-1,k}$。但是复杂度也是很
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摘要：反演就是对于两个整数函数 $f$ 和 $g$，从用 $g$ 表示 $f$ 转化为用 $f$ 表示 $g$。 简而言之，$f(n)$ 是 $g(0),g(1),\cdots,g(n)$ 的一个线性组合，那么很明显，有 $f(n)=\sum_{i=0}^na_{n,i}g(i)$。 如果把 $g(i),
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摘要：$$逐渐变成自己最讨厌的样子$$ 首先考虑 $dp$，设 $dp_{i,j}$ 表示当前放了 $i$ 个树，目前不得不覆盖到的最右点为 $j$，每放一棵树，如果能往左就往左，否则往右倒。 $\text{GF}$ 首先考虑 $dp_{i,j}$ 的转移。 第一种，在 $[j+1,j+k]$ 放一个树，
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摘要：$$一切繁复都洗涤，却染上重叠的星$$ 容斥原理 是容斥原理的基本公式。 但是我们并不经常的使用这个公式本身，我们一般使用这个公式的推论： 具体的理解这个式子，就是在全集 $\mathbb{U}$ 中，我们有若干个子集 $A_i$，其中的元素是坏的。现在我们需要找到不被任何子集包含的元素个数。 容斥
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摘要：序 离散和连续的不期而遇， 抽象与数分的阴阳交融。 我将以加与乘的生铁铸就组合的奇迹， 这世间都要把你的伟岸与光辉所传颂。 $ \mathfrak{Generating Function}$ 生成函数所蕴含的思想 生成函数的主要思想是用简单的加法乘法运算，组合出强大的复杂的数列。你会惊讶于这些简单的
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摘要：我们考虑按照将所有的人分成若干个等价类，然后整组整组的考虑。 我们考虑使用生成函数来解决这个问题，设 $x_i$ 是第 $i$ 组得票的生成变量，生成函数的项 $x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 表示第 $i$ 组得票 $k_i$ 的方案种数，$f_i$ 是第
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摘要：组合计数问题是组合数学中重要的最古典的分支。有人将组合计数问题归为 $12$ 个集合映射问题。但是其中有 $2$ 个是平凡的，所以我们只研究 $10$ 个。 十二重计数法 在数学上，严谨的定义是“从一个集合对另一个集合的映射的个数”。但是我们可以用更简单的方法定义它：把 $n$ 个苹果装进 $m$
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摘要：组合数学的严格定义是非常困难的，其设计的内容广泛，分类困难，体系性较弱。不过，我们可以把组合数学按照问题、工具、对象三种方法进行分类，例如图论，就是按照研究对象分出的内容。 而别的分支，例如代数组合学，就是对一系列的代数对象，如生成函数、反演等进行研究。 我们认为最科学的分类方法是根据组合数学所解决
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摘要：欧拉五边形定理的内容： $$\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}$$ 我们来介绍高斯的证法 考虑下面这个无穷积 $$F(z)=(1+x^1z)(1+x^1z^{-1})(1+x^3z)(1+x^3z^{-1})\
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摘要：现在我们考虑有一个序列 $(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots)$。我们将这个序列作为形式幂级数 $A(x)=\sum_{n\ge0}{a_{n} x^n}$ 的常数项序列。$A(x)$ 就是序列 ${a_i}$ 的生成函数。在生成函数中，类似形式幂级数，$x$ 的具体取值是
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摘要：欧拉五边形定理的内容： $$\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}$$ 我们介绍欧拉的证明方法。 $$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{
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