浅显微积分知识在运维系统中的应用一例

在一个应用性能管理（Application Performance Management，APM）系统中，我们需要由一个指标（metric）的值确定出一个严重程度，具体要求是：

有一个临界值\(\alpha\)，在指标不大于临界值时，严重程度为零；当指标\(x>\alpha\)时，严重性随着\(x\)的增加而增加，且严重性在\(\alpha\)附近对\(x\)敏感，当\(x-\alpha\)很大时则不敏感（例如，\(x-\alpha\)取八千亿还是八万亿区别不大），而且严重程度有上界。

所以，需要构造一个函数\(g\)，满足

1. \(g(x)=0\)，\(x \le \alpha\)；
2. \(g^{\prime}(x) > 0\)，\(x > \alpha\)；
3. \(g^{\prime\prime}(x) < 0\)，\(x > \alpha\)；
4. \(g\)有界。

在试了几下之后，找到函数

\[g_{\alpha}(x)= \begin{cases} 0, & x \le \alpha, \\ \tanh(x-\alpha), & x > \alpha \text{。} \end{cases} \]