群论学习笔记

群的定义和简单性质

群：如果一个非空集合 \(G\) 上定义了一个二元运算 \(\circ\)，满足：

1. 结合律 ：\((a\circ b)\circ c = a\circ(b\circ c)\quad(\forall a, b\in G)\)
2. 存在 幺元 ：\(\exist e\in G\quad s.t.\space e\circ a = a\circ e = a\quad (\forall a\in G)\)
3. 存在 逆元 ：\(\forall a\in G\quad\exist b \in G\quad s.t.\space a\circ b = b\circ a = e\)

则称 \(G\) 关于运算 \(\circ\) 构成一个 群 (group)，记为 \((G, \circ)\)，或简记为 \(G\).

若群 \(G\) 中还成立一下的

4. 交换律 ：\(a\circ b = b \circ a\quad(\forall a, b\in G)\)

则称群 \(G\) 为 交换群 或 Abel 群.

\(\circ\) 在不引起混淆的情况下可以省略不写.

若只满足 1，则称 \(G\) 关于运算 \(\circ\) 构成一个 半群，若还满足 2，则称为 幺半群.

性质：

1. 群的幺元唯一;
2. 群中任意元素的逆元唯一;
3. \(ax=ay\rArr x=y, \quad xa=ya\rArr x=y\)

证：

1. 反证法，不妨设两幺元为 \(e_1, e_2\)，则有 \(e_1=e_1e_2=e_2\).
2. 反证法，不妨设 \(a\) 的两逆元为 \(b_1, b_2\)，则有 \(b_1=b_1e=b_1(ab_2)=(b_1a)b_2=eb_2=b_2\).
3. 不妨设 \(a\) 的逆元为 \(b\)，则 \(x=ex=(ba)x=b(ax)=b(ay)=(ba)y=ey=y\quad x=xe=x(ab)=(xa)b=(ya)b=y(ab)=y\qquad \square\).

我们将 \(a\) 的逆元记为 \(a^{-1}\).

\(a^n=\underbrace{aaaaa...a}_{n}=\bigcirc_{i=1}^na, \space a^0=e, \space a^{-n} = (a^{-1})^n\quad(n\in \mathbb{N})\).

显然有 \(a^{m+n}=a^ma^n\quad(m, n\in\mathbb{N})\)

如果 \(G\) 是交换群，则显然有 \((ab)^n=a^nb^n\quad(n\in \mathbb{N})\).

群所含的元素个数称为群的 阶. 群 \(G\) 的阶记为 \(|G|\). 如果 \(|G|<\infty\)，则称 \(G\) 为 有限群，否则称为 无限群.

设 \(M\) 是一个非空集合.\(\quad\) \(M\) 到自身的双射的全体关于映射的乘法（即复合）构成一个群，叫做 \(M\) 的 全变换群，记为 \(S(M)\).

子群、陪集、Lagrange 定理

定义：设 \(H\) 为群 \(G\) 的非空子集. 如果 \(H\) 在 \(G\) 的运算下构成群，则称 \(H\) 为 \(G\) 的 子群，记作 \(H\leqslant G\).

我们有性质：

性质：设 \(G\) 是群，\(H\sube G\)，\(H\space\mathrlap{\,/}{=}\space\varnothing\)，则下列命题等价：

1. \(H\leqslant G\)
2. 对任意的 \(a, b\in H\)，恒有 \(ab\in H\) 和 \(a^{-1}\in H\)
3. 对任意的 \(a, b\in H\)，恒有 \(ab^{-1}\in H\) (或 \(a^{-1}b\in H\)).

证明较为显然，就不放了。

设 \(G\) 是群，\(H, K\) 是 \(G\) 的子集，则称 \(H\) 和 \(K\) 的 积 为

\[HK=\{hk\space|\space h\in H, k\in K\} \]

如果 \(K=\{a\}\)，则简记为 \(Ha\)。

下面引入陪集的概念。

设 \(H\leqslant G\)，用 \(H\) 可以给出 \(G\) 上的一个等价关系 \(\stackrel{l}{\sim}\) 如下：对于任意的 \(a, b\in G\)，\(a\stackrel{l}{\sim}b\space\) 定义为：存在 \(h\in H\)，使得 \(a=bh\)。

容易通过等价关系的定义证明这是一个等价关系。

不难看出，在这个等价关系下 \(G\) 的元素 \(a\) 所在的的等价类即为 \(aH\)。

类似的，我们给出等价关系 \(\stackrel{r}{\sim}\) 为：对于任意的 \(a, b\in G\)，\(a\stackrel{r}{\sim}b\) 定义为：存在 \(h\in H\)，使得 \(a=hb\)。

在这个等价关系下 \(G\) 的元素 \(a\) 所在的等价类即为 \(Ha\)。

这些等价类有专门的名称。

设 \(H\leqslant G,a\in G\)，称形如 \(aH\) 的子集为 \(H\) 的 左陪集，类似的，定义 右陪集 为形如 \(Ha\) 的子集。

由于左陪集是等价类，所以整个群 \(G\) 就被分解为左陪集的无交并，确切地，有

\[G =\,\, \stackrel{\bullet}{\bigcup}_{aH}aH. \]

\(H\) 的左陪集个数称为 \(H\) 在 \(G\) 中的 指数，记为 \(|G:H|\)。

不难看出 \(H\) 与它的任一左陪集之间存在双射，确切地说，映射

\[\begin{alignedat}{2} \phi:H\rarr aH\\ h\mapsto ah \end{alignedat} \]

是双射。

同样的结论对右陪集也成立。

我们考虑 \(G\) 是有限群的情形，由上面的讨论易得：

\(\text{Lagrange}\) 定理：设 \(G\) 是有限群，\(H\leqslant G\)，则

\[|G|=|G:H||H|. \]

证：

由于 \(H\) 与它的任一左陪集 \(aH\) 之间有双射，所以 \(|H|=|aH|\)。于是有

\[|G| = \sum_{aH}|aH| = |G:H||H|\quad\square. \]