图论

dfs 树

无向图 dfs 树上只存在树边和返祖边。

若存在横叉边，则横叉边一定在 dfs 时被优先访问，与它是横叉边不符。

用于无向图 Tarjan 算法的证明及部分构造题。

无向图连通性

• 割点：删去后使连通分量个数增加的节点；
• 割边（桥）：删去后使连通分量个数增加的边。

割点和割边都定义在无向图上。

无重边时，\(n\le 2\) 的无向连通图无割点，但 \(n=2\) 的无向连通图有割边。

• 割点：

  • 对应点双连通图，定义为不存在割点的无向连通图。
  • 无向图的极大点双连通子图称为点双连通分量（V-BCC）。

• 割边：

  • 对应边双连通图，定义为不存在割边的无向连通图。
  • 无向图的极大边双连通子图称为边双连通分量（E-BCC）。

• 孤立点是点双连通图，也是边双连通图；

• 一条边连接的点对是点双连通图，但不是边双连通图。

一张图是边双连通图的充要条件是每条边都属于至少一个简单环。

• 充分性：删去一条边后，不会影响环上点的可达性，图仍然连通。
• 必要性：若一条边 \((u,v)\) 不在任意简单环上，删去这条边后，\(u\) 不可达 \(v\)，图不再连通。

性质

• 点双连通分量：
  • 点双不具有传递性；
  • 一个节点可能在多个点双中；
  • 缩点时，将节点与所在的点双连边，得到一棵树（圆方树）。
• 边双连通分量：
  • 边双具有传递性；
  • 一个节点只会在一个边双中；
  • 缩点时，将有连边节点所在的边双连边，得到一棵树。

求解割点（Tarjan 算法）

\(u\) 为割点，当且仅当存在 \(v\in {\rm subtree}(u)\)，\({\rm subtree}(v)\) 内节点不经过 \(u\)，无法访问到 \(\mathcal{T}\setminus ({\rm subtree}(v)\cup \{u\})\)。

通过维护 \(\rm low\) 判断，\(u\) 是割点的充要条件为：

\[\sum_{v\in {\rm son}(u)}[{\rm dfn}(u)\le {\rm low}(v)]-[u={\rm root}(\mathcal{T})]\ge 1 \]

证明略。

求解割边（Tarjan 算法）

一条边为割边的必要条件为它是树边。

树边 \((u,v)\) 为割边，当且仅当 \({\rm subtree}(v)\) 内节点不经过 \((u,v)\)，无法访问到 \(\mathcal{T}\setminus {\rm subtree}(v)\)。

通过维护 \(\rm low\) 判断，\((u,v)\) 是割边的充要条件为：

\[{\rm dfn}(u)<{\rm low}(v) \]

证明略。

考虑重边，dfs 时需要记录来源边的编号。

求解点双连通分量

见圆方树。

求解边双连通分量

dfs 时维护一个栈，遇到割边 \((u,v)\) 时，栈顶到 \(v\) 的所有节点构成一个边双。

证明略。

有向图连通性

• 有向图 \(\mathcal{G}\) 中，若 \(u,v(u\ne v)\) 互达，则称 \(u,v\) 是强连通的，他们之间有强连通性。
• 若 \(\mathcal{G}\) 中任意两点都是强连通的，则 \(\mathcal{G}\) 是强连通图。
• \(\mathcal{G}\) 的极大强连通子图称为强连通分量。

性质

• 强连通性具有传递性；
• 强连通分量缩点后得到一张有向无环图。

求解强连通分量

TODO...

圆方树

TODO...