保序回归

概念

给定正整数 \(p\)，一张点集为 \(V=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\)，边集为 \(E(|E|=m)\) 的 \(\text{DAG}\)。

以及每个点的代价函数 \((y_i,w_i)\)，若在 \(G\) 中存在 \(v_i\) 到 \(v_j\) 的有向路径，则有 \(v_i \leq v_j\) 的非严格偏序关系。

求点值序列 \(f\)，使得以下代价最小：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n w_i|y_i-f_i|^p,1 \leq p < \infty \\ \max_{i=1}^n w_i|y_i-f_i|,p=\infty \end{aligned} \]

这类问题统称为 \(L_p(1\leq p \leq \infty)\) 问题。

链上的贪心算法

\(\text{Approximation}\)

求一个单调不降的序列 \(f\)，使得 \(\sum_{i=1}^n w_i|y_i-f_i|^2\) 最小。

\(L_p\) 均值

对于 \(1\leq p < \infty\)，称一个集合 \(S\) 的 \(L_p\) 均值为使得代价和 \(\sum_{v_i\in S} w_i|y_i-k|^p\) 最小的 \(k\)。

当 \(p=2\) 时，容易证明 \(S\) 的 \(L_2\) 均值是其带权平均：

\[\frac {\sum_{v_i\in S} w_iy_i}{\sum_{v_i\in S} w_i} \]

引理 \(1\)

\(\forall i \in [1,n)\) 若有 \(y_i>y_{i+1}\)，则在最优解中一定有 \(f_i=f_{i+1}\)。

考虑当 \(f_i<f_{i+1}\) 时使用调整法易得更优方案。

算法过程

维护一个单调栈，栈内存四元组 \((l,r,y,w)\)，若栈顶的两个四元组的 \(y\) 是递减的，那么就将他们合并。

原本的 \(y\) 变为新的带权平均，\(w\) 直接相加即可。

时间复杂度为 \(O(n)\)。

当然这个做法可以扩展为任意 \(L_p(1\leq p < \infty)\) 问题，瓶颈在于求一个区间的 \(L_p\) 均值。

但如果偏序关系不是链而是更一般的形态，引理 \(1\) 的调整法就会失效，故而这个算法不能在偏序图上拓展。

树上的 \(L_1\) 问题

对于任意的 \(L_1\) 问题，都显然有 \(f\) 的取值集合是 \(y\) 的集合的子集。

故可以设 \(f_{i,j}\) 表示点 \(i\) 取了 \(y\) 集合中的第 \(j\) 小，子树中的最小代价和。

得益于绝对值函数以及绝对值函数的幂是凸的，所以可以用 \(\text{slope trick}\) 进行优化。

基于整体二分的转化

\(S\) 问题

考虑在 \(L_p\) 问题的基础上构造 \(S=\{a,b\}(a<b)\) 问题：在满足所有原限制的情况下，额外要求 \(\forall i,f_i \in [a,b]\)。

引理 \(2\)

若对于 \(S=\{a,b\}(a<b)\)，原问题存在一组最优解 \(f\) 满足没有 \(f_i\) 落在区间 \((a,b)\) 中，那么求出 \(S\) 问题的一组解 \(f'\)，显然有 \(\forall i,f'_i \in S\)。

若 \(f'_i=a\)，则 \(f_i \leq a\)，若 \(f'_i=b\)，则 \(f_i \geq b\)。

\(L_1\) 上的整体二分

由于 \(L_1\) 的解集是原 \(y\) 集合的子集。

所以将 \(y\) 排序后，对于任意 \(mid\)，均有 \(f_i \notin (y_{mid},y_{mid+1})\)。

根据引理 \(2\)，我们可以求出 \(S=\{y_{mid},y_{mid+1}\}\) 的解，从而缩减每个 \(f\) 的范围，递归到子问题。

\(L_p(1<p<\infty)\) 上的整体二分

需要将 \(L_1\) 上的二分改为在 \(R\) 上二分。

考虑选取不为某个 \(y_i\) 的 \(a\)，那么在 \((a,a+\epsilon)\) 上必然不存在最优解。

解决 \(S=\{a,a+\epsilon\}\) 的问题即可。

网络流求解 \(S\) 问题

由于取值集合大小为 \(2\)，令 \(S=\{a,b\}\)，原本的偏序限制 \(v_i\leq v_j\) 可以描述为：若 \(f_i=b\)，则 \(f_j\) 必须为 \(b\)。

先令所有点均选择 \(a\)，然后令 \(G\) 上点 \(v_i\) 的点权为把 \(f_i\) 从 \(a\) 改为 \(b\) 的代价变化量，则原问题即为在 \(G\) 上求解最小权闭合子图。

特别地，当 \(p>1\) 时，代价变化量即为 \(f_i=a\) 时代价的导数，注意判定符号。

树上的 \(L_p(1<p<\infty)\) 问题

有了整体二分，对于树结构的任意 \(L_p(1<p<\infty)\) 问题，都能够做到 \(O(n\log_2 V)\) 的复杂度了。

关键在于树上的 \(S\) 问题可以在 \(O(n)\) 的时间复杂度通过简单的 \(\text{DP}\) 解决。

\(L_{\infty}\) 问题

考虑二分答案，于是对于每个 \(i\)，我们能求出 \(f_i\) 的合法范围。

通过拓扑排序就能容易地进行 \(\text{check}\) 了，复杂度为 \(O(m\log_2 V)\)。