有正能量的流络网

前言

猫网猫络猫流帽是帽什帽么喵？

一些网络流基础算法的模板。

主要记录一些本来不太会的东西。

上下界网络流

在一般的网络流问题上，对于每一条边额外添加了流量的上界和下界，并且依然要求除开源点和汇点之外所有点的流量守恒。

这个问题需要分很多步进行解决。

无源汇上下界可行流

因为上下界网络流是不一定有解的，所以先从可行流开始。

在没有源汇点的情况下，每个点都需要保证流量守恒，但是此时不要求流量最大。

考虑将原网络 \(G\) 拆分成两个新网络 \(P,Q\)，其中 \(P\) 表示原网络的下界网络，\(Q\) 表示原网络的差值网络。

对于 \(G\) 中的一条边 \((u,v,l,r)\)，映射到 \(P\) 中成为边 \((u,v,l)\)，而映射到 \(Q\) 中成为边 \((u,v,r-l)\)。

此时在 \(P\) 中的每一条边都必须满流，但是这样可能会导致某些点的流量不守恒，考虑将流量不守恒的影响放在 \(Q\) 上进行处理。

具体地，如果假设 \(P\) 中每条边都满流，对于点 \(i\)，令其在 \(P\) 中的入流为 \(in_i\)，出流为 \(out_i\)。

若 \(in_i > out_i\)，这意味着点 \(i\) 还有 \(in_i-out_i\) 的流量需要在 \(Q\) 上流出，于是新建超级源点 \(S\)，并添加边 \((S,i,in_i-out_i)\) 即可。

若 \(out_i > in_i\)，这意味着点 \(i\) 还有 \(out_i-in_i\) 的流量需要在 \(Q\) 上流入，于是新建超级汇点 \(T\)，并添加边 \((i,T,out_i-in_i)\) 即可。

接下来在 \(Q\) 上跑从 \(S\) 到 \(T\) 的最大流，若新添的边都能满流，则找到了一组可行流，每条边的实际流量即为其下界加上 \(Q\) 中的流量。

参考代码在这里。

有源汇上下界最大流

考虑把有源汇转化为无源汇，在汇点 \(T\) 和源点 \(S\) 间添加边 \((T,S,0,\infty)\) 即可。

然后跑无源汇上下界可行流，得到的流量即为边 \((T,S)\) 的流量。

然后再去掉边 \((T,S)\)，在残量网络上跑从 \(S\) 到 \(T\) 的最大流即可。

最终答案就是可行流加上第二次求出的最大流。

代码喵喵喵。

有源汇上下界最小流

类似最大流的求法，将第二次跑的最大流改为从 \(T\) 到 \(S\) 的最大流即可。

意义是退掉尽量多的流。