5、多变量线性回归

引例：当房价受房屋面积、卧室数量、楼层、房屋年龄等多个因素影响时的线性回归算法是什么样的？

房屋面积	卧室数量	楼层	房屋年龄	房价($1000)
2104	5	1	45	460
1416	3	2	40	232
1534	3	2	30	315
852	2	1	36	178
…	….	….	…	….

假设函数：h(x)=W^TX

输入变量(x₁,w₁)、(x₂,w₂)、(x₃,w₃)、(x₄,w₄)分别代表房屋面积、卧室数量、楼层、房屋年龄和各自的权重，w₀代表偏差，则假设函数为：h(x)=w₀+w₁x₁+w₂x₂+w₃x₃+w₄x₄

推广到一般，对于n个特征的多因素线性回归问题的假设函数：h(x)=w₀+w₁x₁+w₂x₂+...+w_nx_n

设定x₀=1，则假设函数为：h(x)=w₀+w₁x₁+w₂x₂+...+w_nx_n=w_0x0+w₁x₁+w₂x₂+...+w_nx_n

把W(w₀,w₁,w₂,....)，X(x₀,x₁,x₂,....)分别看成是n+1维的列向量，则W、X、W^_T(W的转置矩阵)分别为：

，则假设函数为：

损失函数：J(w0,w1,w2,...,wn)=J(W)=Σ^m_i=1(h(x⁽ⁱ⁾)-y⁽ⁱ⁾)²/m

特征缩放

方法一：把特征值缩放到[-1,1]之间(或者差不多大小的区间)来达到更快的收敛到最小值的效果

例如：房屋面积x₁的大小在0-2000，卧室数量x₂的大小在1-5，使用特征缩放，对x₁,x₂进行缩放处理，则：

x₁=房屋面积/2000，0≤x₁≤1

x₂=卧室数量/5，0≤x₂≤1

缩放后会加快收敛到最小值

方法二：均值归一化

例如：房屋面积x₁的大小在0-2000(均值为1000)，卧室数量x₂的大小在1-5(均值为2)，使用特征缩放，对x₁,x₂进行缩放处理，则：

x₁=(房屋面积-1000)/2000，-0.5≤x₁≤0.5

x₂=(卧室数量-2)/5，-0.5≤x₂≤0.5

或者

x₁=(房屋面积-1000)/(样本最大值-样本最小值)，-0.5≤x₁≤0.5

x₂=(卧室数量-2)/(样本最大值-样本最小值)，-0.5≤x₂≤0.5

学习率learning rate

1、看图：x轴数学习次数，y轴是J(W)损失函数，通过图形对收敛情况判断学习率的情况

2、..., 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, ... 间隔3倍选择学习率测试

线性回归问题正规方程解法：W=(X^TX)^-1X^Ty  , 其中X^T是X矩阵的转置矩阵，(X^TX)^-1是X^TX的逆矩阵

对于线性回归：梯度下降法和正规方程解法的区别

• 梯度下降需要选择一个学习率，需要迭代很多次
• 正规方程不需要学习率，一次求解
• 特征数量(n)很大(百万级)选择梯度下降，特征数量不多(万级或者以下)选择用正规方程解法(时间复杂度O(n³))