电磁学讲义2：库仑定律
简史
到了18世纪，静电的定性性质已经广被了解，下一个要解决的问题是如何定量地确定出电相互作用力。赵凯华的书上说，“人们对电的了解长期处于定性的初级阶段，这是因为，一方面社会生产力的发展还没有提出应用电力的急迫需求，另一方面，……。”书上这几句话是庸俗的马克思主义唯物观，人们开始定量研究电相互作用，是科学的自然发展，与社会生产力的发展没有任何关系。
1755年，富兰克林曾经观察到这样一个现象，软木塞从外面靠近一个带电的金属容器时，会受到金属容器的吸引，然而若将软木塞用线挂着放进容器内部，不论软木塞处于容器内什么位置，都不会受到力的作用。富兰克林向英国牧师约瑟夫·普利斯特里介绍了这个现象，并请他重复这个实验。普利斯特里读过牛顿的力学，知道位于球壳内部的质量不会受到的球壳对其的引力为零，据此，普利斯特里大胆猜想（1767年），两个电荷之间的相互作用力与万有引力的规律类似，与距离的平方反比。但是，普利斯特里并没有在实验上证实这一猜想。随后，他投入化学的研究，并在化学上取得很大成就，还发明了碳酸饮料。
图为普利斯特里
1769年，苏格兰物理学家和数学家约翰·罗宾逊，做了引力秤实验，发现电斥力基本符合与距离平方成反比的关系。
图为罗宾逊
图为罗宾逊的实验装置
普利斯特里的猜想在18年后，被法国土木工程师和科学家库仑的扭称实验所证实。库仑的扭称实验只能测量同种电荷之间的作用力，异号电荷之间的作用力无法进行扭称实验，库仑设计了电单摆实验，测定异号电荷之间的作用力。
图为库仑
图为库仑的扭称的草图
图为库仑扭称的原理图
库仑定律
库仑通过实验总结出两个静止点电荷间相互作用力的规律，现在称之为库仑定律。所谓点电荷，就是本身的几何线度远远小于它到其他带电体的距离的带电体，这种情况下，这种带电体的形状和电荷在其中的分布无关紧要，可以抽象成一个几何点。
库仑定律的内容表述如下：
在真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，其大小与它们之间距离的平方成反比，与它们电荷量的乘积成正比，作用力的方向在它们的连线上，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
需要注意库仑定律成立的条件，如“真空”、“静止”，我们将在后面的章节讨论，为何会有这些限制条件。在正常大气压下，空气对库仑力的影响一般可忽略，相对误差约1/2000。
两个点电荷\(q_1\)和\(q_2\)，相距\(r\)，\(q_1\)对\(q_2\)施加的力为
\begin{equation*} \vec {F}_{12}=k\frac{q_1q_2}{r}\hat{r}_{12} \end{equation*}
当\(q_1\)和\(q_2\)同号时，\(\vec {F}\_{12}\)与\(\hat{r}\_{12}\)同方向，即力为斥力；当\(q_1\)和\(q_2\)异号时，\(\vec {F}\_{12}\)与\(\hat{r}\_{12}\)反方向，即力为引力。当下标1、2对调，\(\hat{r}\_{21}=-\hat{r}\_{12}\)，于是\(\vec {F}\_{21}=-\vec {F}\_{12}\)，即静止的点电荷之间的库仑力满足牛顿第三定律。后面我们将会讲，运动的电荷之间的库仑力不满足牛顿第三定律。
比例系数\(k\)与单位制有关，在国际单位制中，\(k=9\times 10^9\mathrm {Nm}^2/\mathrm C^2\)，\(k\)又常写为\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)，其中\(\varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}\mathrm C^2/\mathrm {Nm}^2\)，$\varepsilon_0是个物理常量，叫做真空电容率，或真空介电常数。
在一些早期的文献，或现在一些理论文献中，高斯单位制也常被采用，在高斯单位制中，\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=1\)，请参考赵凯华的书第六章第7节。
例1：\(\alpha\) 粒子的质量\(m=6.64\times 10^{-27}\mathrm {kg}\)，电量\(q=2e=3.2\times 10^{-19}\mathrm C\)。计算两个\(\alpha\) 粒子之间的静电相互作用力与万有引力之比。万有引力常数\(G=6.64\times 10^{-11}\mathrm{Nm^2/kg^2}\)
结果：\(\frac{F_e}{F_g}=3.1\times 10^{35}\)。
评论：对于微观粒子，万有引力相对库仑力可以忽略，除非考虑的问题精确到小数点以后36位以后。那我们又是如何发现万有引力的呢？因为原子整体对外是电中性的。
例2：原子核内两个质子之间的库仑力。
评论：需要更强的力将质子束缚在原子核内。
库仑力服从叠加原理
库仑定律描述的是两个静止的点电荷之间的力，如果有多个点电荷同时存在，该如何计算库仑力呢？实验发现，某个点电荷受到多个点电荷的作用力等于各个点电荷独自对该点电荷的作用力的矢量和，这就是力的叠加原理。
例如，现在有3个电荷，\(q_1\)、\(q_2\)、\(q_3\)，电荷 \(q_3\) 所受到的库仑力为：
\begin{equation*} \vec {F}_3=\vec {F}_{13}+\vec {F}_{23}=\frac{q_3}{4\pi\varepsilon_0}\left ( \frac{q_1}{r_{13}^2}\hat{r}_{13} + \frac{q_2}{r_{23}^2}\hat{r}_{23} \right ) \end{equation*}
如果有\(N\)个点电荷，\(q_1\)、\(q_2\)、\(\cdots\) 、\(q_N\)，其中某个点电荷\(q_i\) 受到的总的库仑力为：
\begin{equation*} \vec {F}_i=\sum_{j=1,\neq i}^{j=N}\vec {F}_{ji}=\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j=1,\neq i}^{j=N}\frac{q_j}{r_{ji}^2}\hat{r}_{ji} \end{equation*}
例3：考虑三个电荷，\(q_1=12\mu \mathrm C\)，\(q_2=6\mu \mathrm C\)，\(q_1=-4\mu \mathrm C\)，相对位置如图所示，求\(q_2\)所受到的静电力。
例3的图
解：\(q_1\)、\(q_3\)对\(q_2\)的静电力分别为\(\vec {F}\_{12}\)和\(\vec {F}\_{32}\)，这两个力的合力即为\(q_2\)所受到的静电力\(\vec{F}\_2\)，即
\begin{equation*} \vec {F}_{2}=\vec {F}_{12}+\vec {F}_{32}=\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left ( \frac{q_1}{r_{12}^2}\hat{r}_{12} + \frac{q_3}{r_{32}^2}\hat{r}_{32} \right )=(-0.8\vec{i}+0.6\vec{j})\mathrm N \end{equation*}
\(q_2\)所受到的静电力的大小为
方向如图所示，与\(x\)轴负方向夹角为
\begin{equation*} \theta=\arctan\left (\frac{F_{32}}{F_{12}}\right )=\arctan(0.75)=37^{\circ} \end{equation*}
作业
- 习题1-4
- 电量都是\(q\)的四个点电荷，分别处于一正方形的顶点上，问在正方形的中心放置一个什么样的点电荷可以使顶点处的每一个点电荷的受力都为零。
- （附加题）两个固定的点电荷相距\(2a\)，电量均为\(q\)，在这两个电荷的连线的中点处有一个质量为\(m\)电量为\(Q\)的粒子，并限定此粒子只能沿两个\(q\)电荷的连线的方向上运动。若此粒子从原来位置偏移一定距离\(x\)，且\(x\ll a\)，释放\(Q\)粒子，试讨论此粒子的运动。
第3题配图
科研训练：检索文献资料，写一篇小论文，说明库仑扭称实验的原理，并说明库仑扭称实验为什么不适用于异号电荷。（两周之内完成）
参考资料
- 《力学以外的世界》
- 陈秉乾《电磁学专题研究》
- 赵凯华《电磁学》
- Chapter 2 of Electricity, Magnetism, and Light
