讲课：差分约束

讲课：差分约束

为甚么不是讲最短路的同学来讲这个……

差分约束系统是一个关于变量 \(\vec{x} = (x_i)_{i = 0}^{n - 1}\) 的 \(n\) 元一次不等式组，他由 \(m\) 个形如 \(x_j - x_i \leq l_k\ (i,j,k \in \mathbb{N},\ i,j < n,\ i \neq j,\ k < m,\ l_k \in \mathbb{R})\) 的不等式组成。

给定这样一个差分约束系统，我们需要求出可行解（通常只需求一组解），或报告无解。

对于每个约束条件 \(x_j - x_i \leq l_k \iff x_j \leq x_i + l_k\)，他变形后长得比较像最短路中的松弛条件 \(\delta(s, v) > \delta(s, u) + w\)（\(s\) 是源点）。当我们的单源最短路算法求解完成之后，对每一条边 \((u, v, w)\) 都有 \(\delta(s, v) \leq \delta(s, u) + w\)，正是我们现在的约束条件的形式。

因此，我们只需对每个 \(x_j - x_i \leq l_k\)，建边 \((i, j, l_k)\)。不过此时图可能不连通，所以我们可以建一个超级源点 \(s\)，分别将 \(s\) 与所有 \(i \in \mathbb{N} \cap [0, n)\) 建边 \((s, i, 0)\)（相当于追加了 \(n\) 个不等式 \(x_s \geq x_i\ (i \in \mathbb{N},\ i < n)\)，不影响结果）。对 \(s\) 求单源最短路，任意赋值 \(x_s\)，\((x_s + \delta(s, i))_{i = 0}^{n - 1}\) 就是一组可行解。不过，当图中存在负环的时候，是没办法求出单源最短路的，此时该不等式组会要求环上点代表的变量自己比自己小——这当然是不可能的，也就是不等式组无解。

为了正确处理负环，推荐使用 SPFA 算法计算单源最短路。

模板题 Luogu P1993 参考代码：

template <typename Weight>
inline std::vector<Weight>
spfa(const std::vector<std::vector<std::pair<size_t, Weight>>> &adj, // {to, weight}
	 size_t start) {
	size_t n = adj.size();
	if (!n) {
		return {};
	}
	auto dist = std::vector<Weight>(n, INT32_MAX);
	auto inq = std::vector<bool>(n);
	auto cnt = std::vector<size_t>(n);
	dist[start] = 0;
	std::queue<size_t> q;
	q.emplace(start);
	while (q.size()) {
		auto u = q.front();
		inq[u] = false;
		q.pop();
		for (auto &e : adj[u]) {
			auto v = e.first;
			auto w = e.second;
			if (dist[v] > dist[u] + w) {
				dist[v] = dist[u] + w;
				/**
				 * the shortest path between 2 vertices consists of at most
				 * (n - 1) edgess
				 */
				if ((cnt[v] = cnt[u] + 1) >= n) {
					return {};
				}
				if (!inq[v]) {
					inq[v] = true;
					q.emplace(v);
				}
			}
		}
	}
	return dist;
}

inline void solve() {
	size_t n, m;
	std::cin >> n >> m;
	auto adj = std::vector<std::vector<std::pair<size_t, int32_t>>>(n + 1);
	for (size_t i = 0; i != m; ++i) {
		int op;
		size_t u, v;
		int32_t w;
		std::cin >> op >> v >> u;
		--u, --v;
		if (op == 3) {
			adj[u].emplace_back(v, 0);
			adj[v].emplace_back(u, 0);
		} else {
			std::cin >> w;
			if (op == 1) {
				std::swap(u, v);
				w = -w;
			}
			adj[u].emplace_back(v, w);
		}
	}
	adj[n].reserve(n);
	for (size_t i = 0; i != n; ++i) {
		adj[n].emplace_back(i, 0);
	}
	// auto dists = spfa(adj, n);
	// if (dists.size()) {
	// 	for (auto [v, w] : adj[n]) {
	// 		assert(dists[v] <= 0);
	// 	}
	// }
	std::cout << (spfa(adj, n).empty() ? "No\n" : "Yes\n");
}

时间复杂度：取决于最短路算法；对于 SPFA，其在随机图的复杂度为 \(O(k \cdot |E|)\)（\(k\) 是常数），但在最坏情况下为 \(O(|V| \cdot |E|)\)。

空间复杂度：\(\Theta(|V|)\) 额外空间。