码蹄杯初赛第一场

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5.

给定矩阵\(a\in\mathbb{N}^{m\times m},\ b\in\mathbb{N}^{n\times n}\ (m,n\in\mathbb{N^*},\ m\geq n)\)，求

\[\left(\sum_{i=0}^{m-n}\sum_{j=0}^{m-n}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{n-1}(a_{i+k,j+l}\oplus b_{k.l})\right)\bmod(10^9+7). \]

保证\(m,n\leq10^3,\ (\forall i)\ (\forall j)\ (a_{i,j},b_{i,j}\leq10^9)\)。

按位异或对加法不满足分配律，所以直接化简这个和式是不可能的。考虑按位处理。用\(x^{(p)}\)表示\(x\)从低到高的第\(p\)位。

考虑贡献法，\(a_{i,j}\)与哪些元素进行了异或？于是原和式可以化为

\[\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{k=\max\{i-(m-n),0\}}^{\min\{i,n-1\}}\sum_{l=\max\{j-(m-n),0\}}^{\min\{j,n-1\}}(a_{i,j}\oplus b_{k,l}). \]

记

\[\begin{array} k_{\min}=\max\{i-(m-n),0\},\ k_{\max}=\min\{i,n-1\},\\ l_{\min}=\max\{j-(m-n),0\},\ l_{\max}=\min\{j,n-1\}, \end{array} \]

按位考虑，则原和式等于

\[\sum_{b=0}^{B-1}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{k=k_{\min}}^{k_{\max}}\sum_{l=l_{\min}}^{l_{\max}}(a_{i,j}^{(p)}\oplus b_{i,j}^{(p)})\cdot2^p, \]

其中\(B=\lceil\log(10^9)\rceil\)。

对于取定的\(i,j,p\)，由异或的定义可知，我们只需数出\(b\)在区域\(\mathbb{N}^2\cap([k_{\min},k_{\max}]\times[l_{\min},l_{\max}])\)中\(0\)或\(1\)的数量即可。当\(a_{i,j}^{(p)}=0\)时数\(1\)，当\(a_{i,j}=1\)时数\(0\)。这个计数值可以通过\(\varTheta(n^2)\)预处理二维前缀和来\(\varTheta(1)\)求出。

7.

给定\(a\in(\mathbb{N}^*)^{3\times n}\ (n\in\mathbb{N}^*)\)，求

\[(a_{0,\lfloor i/n^2\rfloor}\cdot a_{1,\lfloor i/n\rfloor\bmod n}\cdot a_{2,i\bmod n})_{i=0}^{n^3-1} \]

中最小的\(m\in\mathbb{N}^*\)项。保证\(n\leq10^5,\ m\leq\min\{n^3,2n\},\ (\forall i\in\{0,1,2\})\ (\forall i)\ (\forall j)\ (a_{i,j}\leq10^5)\)。

我真傻，真的。

可以先用\(a_0,a_1\)组合一遍乘积，用最小的\(m\)个再去与\(a_2\)组合一遍。这一点我没想到。

用堆维护最小的\(m\)项是很容易想到的。

但这样还不够！暴力组合两个数组，复杂度仍然高达\(\varTheta(n^2\log m)\)，我们需要找到更高效的寻找最小\(m\)个乘积的方式。很容易想到将它们先排序，然后怎么办？

如果我们将这两个数组组合的过程列成表格（以\(a_0,a_1\)分别作纵轴和横轴，表格中填上乘积），那末每一行、每一列都必定是递增的。现在我们的任务变为一个经典问题（多路归并问题）：如何在这\(n\)行（从列的视角看当然也可以，这是等价的）已经有序的数列中选出最小的\(m\)个？很显然只需对各行维护一个从左往右移动的指针，指向下一个待选元素；每次选取所有待选元素中最小的那一个，并移动指针即可；而“选取所有待选元素中最小的那一个”正适合用一个小根堆来维护。进一步地，由于我们/只需求出最小的\(m\)个元素，我们只需考虑前\(\min\{m,n\}\)行即可，因为第\(m+1\)行（如果存在）的首个元素必定比前\(m\)行的首个元素更大。