离散数学

离散数学

数理逻辑

命题逻辑的基本概念

命题与联结词

非真即假的陈述句称作命题。

作为命题的陈述句所表达的判断结果称作命题的真值，真值只取两个值：真或假。真值为真的称作真命题，真值为假的命题称作假命题。任何命题的真值都是唯一的。既不能为真也不能为假的陈述句称作悖论，悖论不是命题。

不能被分解成更简单的命题称作简单/原子命题，由简单命题通过联结词联结而成的命题称作复合命题。

定义1.1 设\(p\)为命题，复合命题“非\(p\)”/“\(p\)的否定”称作\(p\)的否定式，记作\(\neg p\)。符号\(\neg\)称作否定联结词。规定\(\neg p\)为真当且仅当\(p\)为假。

定义1.2 设\(p,q\)为两个命题，复合命题“\(p\)并且\(q\)”/“\(p\)与\(q\)”称为\(p\)与\(q\)的合取式，记作\(p\land q\)。\(\land\)称作合取联结词。规定\(p\land q\)为真当且仅当\(p\)与\(q\)同时为真。

定义1.3 设\(p,q\)为两个命题，复合命题“\(p\)或\(q\)”称为\(p\)与\(q\)的析取式，记作\(p\lor q\)。\(\lor\)称作析取联结词。规定\(p\lor q\)为假当且仅当\(p\)与\(q\)同时为假。

定义1.4 设\(p,q\)为两个命题，复合命题“如果\(p\)则\(q\)”称为\(p\)与\(q\)的蕴含式，记作\(p\rightarrow q\)，并称\(p\)是蕴含式的前件，\(q\)是蕴含式的后件，\(\rightarrow\)称作蕴含联结词。并规定\(p\rightarrow q\)为假当且仅当\(p\)为真\(q\)为假。

定义1.5 设\(p,q\)为两个命题，复合命题“\(p\)当且仅当\(q\)”称作\(p\)与\(q\)的等价式，记作\(p\leftrightarrow q\)，\(\leftrightarrow\)称作等价联结词。规定\(p\leftrightarrow q\)为真当且仅当\(p\)与\(q\)同时为真或同时为假。

命题公式及其赋值

简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位，其真值是确定的，又称作命题常项/元。取值\(1\)或\(0\)的变元称作命题变项/元。可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句，命题变项不是命题。

将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系联结起来的符号串称作(合式)公/命题形式。当使用联结词集\(\{\neg,\land,\lor,\rightarrow,\leftrightarrow\}\)时，合式公式定义如下。

定义1.6

1. 单个命题变项和命题常项是合式公式，并称为原子命题公式。
2. 若\(A,B\)是合式公式，则\(\neg A,(A\land B),(A\lor B),(A\rightarrow B),(A\leftrightarrow B)\)是合式公式。

设\(A,B\)为合式公式，若\(B\)为\(A\)中一部分，则称\(B\)为\(A\)的子公式。

定义1.7

1. 若公式\(A\)是单个的命题变项，则称\(A\)为\(0\)层公式。
2. 当出现下面的情况之一时，称\(A\)是\((n+1)\ (n\in\mathbb{N})\)层公式。
   1. \(A=\neg B\)，其中\(B\)是\(n\)层公式。
   2. \(A=BRC\)，其中\(R\in\{\neg,\land,\lor,\rightarrow,\leftrightarrow\}\)，\(B,C\)分别i为\(b,c\)层公式且\(n=\max\{b,c\}\)。

定义1.8 设\(p_1,\dots,p_n\ (n\in\mathbb{N}^*)\)是出现在公式\(A\)中的全部命题变项，给它们各指定一个真值，称为对\(A\)的一个赋值/解释。若指定的一组值使\(A\)为\(1\)，则称这组值为\(A\)的成真赋值，否则称为成假赋值。

定义1.9 将命题公式\(A\)在所有赋值情况下取值情况列成的表称作\(A\)的真值表。

定义1.10 设\(A\)为任一命题公式。

1. 若\(A\)在其各种赋值下取值均为真，则称\(A\)为重言/永真式。
2. 若\(A\)在其各种赋值下取值均为假，则称\(A\)为矛盾/永假式。
3. 若\(A\)不是矛盾式，则称\(A\)为可满足式。

将被考虑而没有出现在公式\(A\)中的命题变项称为\(A\)的哑元，显然\(A\)的取值与其哑元无关。

命题逻辑等值演算

等值式

定义2.1 设\(A,B\)是两个命题公式。若\(A\leftrightarrow B\)为重言式，则称\(A\)与\(B\)是等值的，记作\(A\Leftrightarrow B\)。

• 16组常用的等值式模式：

  1. 双重否定律

     \[A\Leftrightarrow\neg\neg A. \]

  2. 幂等律

     \[A\lor A\Leftrightarrow A\Leftrightarrow A\land A. \]

  3. 交换律

     \[A\land B\Leftrightarrow B\land A,\ A\lor B\Leftrightarrow B\lor A. \]

  4. 结合律

     \[(A\lor B)\lor C\Leftrightarrow A\lor(B\lor C),\ (A\land B)\land C\Leftrightarrow A\land(B\land C). \]

  5. 分配律

     \[A\lor(B\land C)\Leftrightarrow(A\lor B)\land(A\lor C),\ A\land(B\lor C)\Leftrightarrow(A\land B)\lor(A\land C) \]

  6. De Morgan律

     \[\neg(A\lor B)\Leftrightarrow\neg A\land\neg B,\ \neg(A\land B)\Leftrightarrow\neg A\lor\neg B \]

  7. 吸收律

     \[A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\Leftrightarrow A\land(A\lor B). \]

  8. 零律

     \[A\lor1\Leftrightarrow1,\ A\land0\Leftrightarrow0 \]

  9. 同一律

     \[A\lor0\Leftrightarrow A\Leftrightarrow A\land1. \]

  10. 排中律

      \[A\lor\neg A\Leftrightarrow1. \]

  11. 矛盾律

      \[A\land\neg A\Leftrightarrow0. \]

  12. 蕴含等值式

      \[A\rightarrow B\Leftrightarrow\neg A\lor B. \]

  13. 等价等值式

      \[A\leftrightarrow B\Leftrightarrow(A\rightarrow B)\land(B\rightarrow A). \]

  14. 假言易位

      \[A\rightarrow B\Leftrightarrow\neg B\rightarrow\neg A. \]

  15. 等价否定等值式

      \[A\leftrightarrow B\Leftrightarrow\neg A\leftrightarrow\neg B. \]

  16. 归谬论

      \[(A\rightarrow B)\land(A\rightarrow\neg B)\Leftrightarrow\neg A. \]

由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称作等值演算。

置换规则 设\(\varPhi(A)\)是含公式\(A\)的命题公式，\(\varPhi(B)\)是用公式\(B\)置换\(\varPhi(A)\)中\(A\)的所有出现后得到的命题公式。若\(A\Leftrightarrow B\)，则\(\varPhi(A)\Leftrightarrow\varPhi(B)\)。

析取范式与合取范式

定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式，仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。

定理2.1

1. 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式。
2. 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式。

定义2.3 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称作合取范式，由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式，它们统称为范式。

定理2.2

1. 一个析取范式是矛盾式当且仅当组成它的每个简单合取式都是矛盾式。
2. 一个合取范式是重言式当且仅当组成它的每个简单析取式都是重言式。

定理2.3（范式存在定理） 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。

1. 消去\(\rightarrow,\leftrightarrow\)。
2. 用双重否定律小区双重否定符，用De Morgan律内移否定符。
3. 使用分配律。

定义2.4

1. 在含有\(n\)个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项及其否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或其否定式按照字典序排列，则称这样的简单合取式为极小项。每个极小项只有一个成真赋值\(i\)，因此可将该极小项记为\(m_i\)。
2. 在含有\(n\)个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项及其否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或其否定式按照字典序排列，则称这样的简单析取式为极大项。每个极大项只有一个成假赋值\(i\)，因此可将该极大项记为\(M_i\)。

定理2.4 设\(m_i\)和\(M_i\)分别是是命题变项\(p_1,\dots,p_n\)在赋值\(i\)下的极小项和极大项，则

\[\neg m_i\Leftrightarrow M_i. \]

定义2.5 所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式，所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式。

定理2.5 任何命题公式都存在等值的唯一主析取范式和唯一主合取范式。

联结词的完备集

定义2.6 称\(F:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}\)为\(n\)元真值函数。每个真值函数都与唯一的一个主析取范式和唯一的一个主合取范式等值。

定义2.7 设\(S\)是一个联结词集合，若任何\(n\geq1\)元真值函数都可以由仅含\(S\)中的联结词构成的公式表示，则称\(S\)是联结词完备集。

定理2.6 \(\{\neg,\land,\lor\},\{\neg,\land,\lor,\rightarrow\},\{\neg,\land,\lor,\rightarrow\},\{\neg,\land,\lor,\to,\leftrightarrow\},\{\neg,\land\},\{\neg,\lor\},\{\neg,\rightarrow\}\)都是联结词完备集。

定义2.8 设\(p,q\)是两个命题。复合命题“\(p\)与\(q\)的否定式”称作\(p,q\)的与非式，记作\(p\uparrow q\)，即\(p\uparrow q\Leftrightarrow\neg(p\land q)\)，符号\(\uparrow\)称作与非联结词；复合命题“\(p\)或\(q\)的否定式”称作\(p,q\)的或非式，记作\(p\downarrow q\)，即\(p\downarrow q\Leftrightarrow\neg(p\lor q)\)，符号\(\downarrow\)称作或非联结词。

定理2.7 \(\{\uparrow\},\{\downarrow\}\)都是联结词完备集。

可满足性问题与消解法

一般的命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题。称不含任何文字的简单析取式为空简单析取式，记作\(\lambda\)。规定\(\lambda\Leftrightarrow0\)。

设\(l\)是一个文字，记

\[l^{\mathrm{c}}= \begin{cases} \neg p & (l=p)\\ p & (l=\neg p) \end{cases}, \]

称作\(l\)的补。

设\(S_1,S_2\)都是合取范式，定义\(S_1\approx S_2\)当且仅当\(S_1\)可满足当且仅当\(S_2\)可满足。

定义2.9 设\(C_1,C_2\)是两个简单析取式，\(C_1\)含文字\(l\)，\(C_2\)含文字\(l^{\mathrm{c}}\)。从\(C_1\)中删去\(l\)，从\(C_2\)中删去\(l^{\mathrm{c}}\)，将所得的两个结果析取称一个简单析取式，称这样得到的简单析取式为\(C_1,C_2\)(以\(l\)和\(l^{\mathrm{c}}\)为消解文字的)消解式/结果，记为\(\operatorname{Res}(C_1,C_2)\)。由此得到\(\operatorname{Res}(C_1,C_2)\)的规则称为消解规则。

如果两个简单析取式有多对文字可以消解，无论选择那一对，其消解后的结果都是等值的。

定理2.8 设\(C_1,C_2\)是两个简单析取式，则

\[C_1\land C_2\approx\operatorname{Res}(C_1,C_2). \]

定义2.10 设\(S\)是一个合取范式，\((C_i)_{i=1}^n\)是一个简单析取式序列。如果对任意\(i\in\mathbb{N}\cap[1,n]\)，\(C_i\)是\(S\)中的一个简单析取式或它之前的某两个简单析取式\(C_j,C_k\ (j,k\in\mathbb{N}^*,\ j<k<i)\)的消解结果，则称此序列是由\(S\)导出\(C_n\)的消解序列。当\(C_n=\lambda\)时，称此序列是\(S\)的一个否证。如果\(S\)有否证，则\(S\)必不可满足。

引理2.9 设合取范式\(S\)含有简单析取式\(l\)，从\(S\)中删去所有包含\(l\)的简单析取式，再从剩下的简单析取式中删去\(l^{\mathrm{c}}\)，这样得到的合取范式可满足当且仅当\(S\)可满足。

定理2.10（消解的完全性） 如果合取范式\(S\)不可满足，则\(S\)必有否证。因此合取范式不可满足当且仅当它有否证。

命题逻辑的推理理论

推理的形式结构

推理是指从前提出发推出结论的思维过程，前提是已知的命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。

定义3.1 设\(A_1,\dots,A_n,B\)都是命题公式。若对于它们中出现的命题变项的任意一组赋值，\(\left(\bigwedge_{i=1}^nA_i\right)\rightarrow B\)都为真，则称由前提\(A_1,\dots,A_n\)推出结论\(B\)的推理是有效/正确的，并称\(B\)为有效的结论。将由前提集合\(\{A_i:i\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n\}\)推出结论\(B\)的推理记为\(\{A_i:i\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n\}\vdash B\)；若推理正确，则记为\(\{A_i:i\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n\}\vDash B\)或\(\bigwedge_{i=1}^nA_i\implies B\)，否则记为\(\{A_i:i\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n\}\nvDash B\)。

定理3.1 命题公式\(A_1,\dots,A_n\)推出\(B\)的推理正确当且仅当

\[\bigwedge_{i=1}^nA_i\to B \]

为重言式。

推理定律

1. 附加律

   \[A\implies(A\lor B). \]

2. 化简律

   \[(A\land B)\implies A. \]

3. 假言推理

   \[(A\rightarrow B)\land A\implies B. \]

4. 拒取式：

   \[(A\rightarrow B)\land\neg B\implies\neg A. \]

5. 析取三段论：

   \[(A\lor B)\land\neg B\implies A. \]

6. 假言三段论：

   \[(A\rightarrow B)\land(B\rightarrow C)\implies(A\rightarrow C). \]

7. 等价三段论：

   \[(A\leftrightarrow B)\land(B\leftrightarrow C)\implies(A\leftrightarrow C). \]

8. 构造性二难：

   \[(A\rightarrow B)\land(C\rightarrow D)\land(A\lor C)\implies(B\lor D). \]

9. 破坏性二难：

   \[(A\rightarrow)\land(C\rightarrow D)\land(\neg B\lor\neg D)\implies(\neg A\lor\neg C). \]

自然推理系统\(P\)

证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式要么是已知前提，要么是由前面的公式应用推理规则得到的结论。

定义3.2 一个形式系统\(I\)由以下四部分组成：

• 非空的字母表\(A(I)\)。
• \(A(I)\)中符号构造的合式公式集\(E(I)\)。
• \(E(I)\)中一些特殊的公式组成的公理集\(A_X(I)\)。
• 推理规则集\(R(I)\)。

将\(I\)记为四元组\(\langle A,E,A_X,R\rangle(I)\)，其中\(\langle A,E\rangle(I)\)是\(I\)的形式语言系统，而\(\langle A_X,R\rangle(I)\)称为\(I\)的形式演算系统。

形式系统一般分为两类：

• 自然推理系统：从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是有效的推理结论。
• 公里推理系统：只能从若干条给定的公理出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。

定义3.3 自然推理系统\(P\)的定义如下：

1. 字母表
   1. 命题变项符号
   2. 联结词符号
   3. 括号与逗号
2. 合式公式
3. 推理规则

附加前提证明法

\[\begin{aligned} & \left(\bigwedge_{i=1}^nA_i\right)\rightarrow(A\rightarrow B)\\ \Leftrightarrow & \left(A\land\bigwedge_{i=1}^nA_i\right)\rightarrow B. \end{aligned} \]

归谬法

\[\begin{aligned} & \left(\bigwedge_{i=1}^nA_i\right)\rightarrow B\\ \Leftrightarrow & \neg\left(\neg B\land\bigwedge_{i=1}^nA_i\right). \end{aligned} \]

消解证明法

消解证明法是把前提中的公式和结论的否定都化成等值的合取范式，以这些合取范式中的所有简单析取式作为前提，用消解规则构造证明。若能得到空式则证明推理正确。

一阶逻辑基本概念

一阶逻辑命题符号化

个体词、谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。

个体词

个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体地或抽象的客体。将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项，并称个体变项的取值范围为个体/论域。

谓词

谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。表示具体性质或关系的谓词称作谓词常项，表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称作谓词变项。一般地，将含\(n\in\mathbb{N}\)个个体变项地谓词称作\(n\)元谓词。\(0\)元谓词常项就是命题。

量词

表示个体常项或变项之间数量关系的词称作量词。

1. 全称量词
2. 存在量词

一阶逻辑公式及其解释

个体常项符号、函数符号和谓词符号称作非逻辑符号，个体变项符号、量词符号、联结词符号和括号与都好称作逻辑符号。

定义4.1 设\(L\)是一个非逻辑符号集合，由\(L\)生成的一阶语言\(\mathscr{L}\)的字母表包括下述符号：

1. 非逻辑符号：\(L\)中的个体常项符号、函数符号、谓词符号
2. 逻辑符号：
   1. 个体变项符号
   2. 量词符号\(\forall,\exists\)
   3. 联结词符号\(\neg,\land,\lor,\rightarrow,\leftrightarrow\)。
   4. 括号与逗号

定义4.2 \(\mathscr{L}\)的定义如下：

1. 个体常项符号和个体变项符号是项。
2. 若\(\varphi\)是\(n\)元函数符号，\(t_1,\dots,t_n\)是\(n\)个项，则\(\varphi(t_i)_{i=1}^n\)是项。

定义4.3 设\(P\)是\(\mathscr{L}\)的\(n\)元谓词符号，\(t_1,\dots,t_n\)是\(\mathscr{L}\)的\(n\)个项，则称\(P(t_i)_{i=1}^n\)是\(\mathscr{L}\)的原子公式。

定义4.4 \(\mathscr{L}\)的(合式/谓词)公式定义如下：

1. 原子公式是合式公式。
2. 若\(A,B\)是合式公式，则\(\neg A,\ A\land B,\ A\lor B,\ A\rightarrow B,\ A\leftrightarrow B,\ \forall x\ A,\ \exist x\ A\)都是合式公式。

定义4.5 在公式\(\forall x\ A\)和\(\exist x\ A\)中，称\(x\)为指导变元，\(A\)为量词的辖域。在\(\forall x\)和\(\exist x\)的辖域中，\(x\)的所有出现都称作约束出现，\(A\)中不是约束出现的其他变项均称作自由出现。

定义4.6 设\(A\)是任意的公式，若\(A\)中不含自由出现的个体变项，则称\(A\)为封闭的公式，简称闭式。

对公式中个体域及个体常项符号、函数符号、谓词符号的指定称作解释，指定自由出现的个体变项的值称作赋值。

定义4.7 设\(\mathscr{L}\)是由\(L\)生成的一阶语言，\(\mathscr{L}\)的解释\(I\)由以下部分组成：

1. 非空个体域\(D_I\)。
2. 对每一个个体常项符号\(a\in L\)，有一个\(\overline{a}\in D_l\)，称\(\overline{a}\)为\(a\)在\(I\)中的解释。
3. 对每一个\(n\)元函数符号\(f\in L\)，有一个\(n\)元函数\(\overline{f}:D_I^n\to D_I\)，称\(\overline{f}\)为\(f\)在\(I\)中的解释。
4. 对每一个\(n\)元谓词符号\(P\in L\)，有一个\(D_I\)上的\(n\)元谓词常项\(\overline{P}\)，称\(\overline{P}\)为\(P\)在\(I\)中的解释。

对每一个个体变项符号\(x\)指定\(D_I\)中的一个值\(\sigma(x)\)，称\(\sigma\)为\(I\)下的赋值。

设\(A\)为公式。在解释\(I\)和赋值\(\sigma\)下，

1. 取个体域\(D_I\).
2. 若\(A\)中含个体常项符号\(a\)，就将其替换为\(\overline{a}\)。
3. 若\(A\)中含函数符号\(f\)，就将其替换为\(\overline{f}\)。
4. 若\(A\)中含谓词符号\(P\)，就将其替换为\(\overline{P}\)。
5. 若\(A\)中含自由出现的个体变项符号\(x\)，就将其替换为\sigma(x)$。

把这样得到的公式\(A'\)称为\(A\)在\(I\)下的解释，或称\(A\)在\(I\)下被解释成\(A'\)。

给定解释\(I\)和\(I\)下的赋值\(\sigma\)，任何公式都能被解释成命题。特别地，闭式只需要解释即可被解释为命题，而无需赋值。

定义4.8 设\(A\)为公式。若\(A\)在任何解释和该解释下的任何赋值下均为真，则称\(A\)为永真/逻辑有效式。若\(A\)在任何解释和该解释下的任何赋值下均为假，则称\(A\)为永假/矛盾式。若至少存在一个解释和该解释下的一个赋值使\(A\)为真，则称\(A\)是可满足式。

定义4.9 设\(A_0\)是含命题变项\(p_1,\dots,p_n\)的命题公式，\(A_1,\dots,A_n\)是\(n\)个谓词公式，对所有\(i\in\mathbb{N}\cap[1,n]\)用\(A_i\)处处代替\(A_0\)中的\(p_i\)，将所得公式称为\(A_0\)的代换实例。

定理4.1 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。

一阶逻辑等值演算与推理

一阶逻辑等值式与置换规则

定义5.1 设\(A,B\)是一阶逻辑中任意两个公式，若\(A\leftrightarrow B\)是永真式，则称\(A\)与\(B\)等值，记作\(A\Leftrightarrow B\)。称\(A\Leftrightarrow\)B是等值式。

一阶逻辑的基本等值式：

• 一阶命题逻辑的等值式

• 量词相关等值式：

  • 消去量词等值式：如果个体域是有限集或可列集\(D\)，则

    • \[\forall x\ P(x)\Leftrightarrow\bigwedge_{x\in D}P(x). \]

    • \[\exist x\ P(x)\Leftrightarrow\bigvee_{x\in D}P(x). \]

  • 量词否定等值式：

    • \[\neg\forall x\ P(x)\Leftrightarrow\exist x\ \neg P(x). \]

    • \[\neg\exist x\ P(x)\Leftrightarrow\forall x\ \neg P(x). \]

  • 量词辖域收缩与扩张等值式：

    • \[\forall x\ (P(x)\lor Q)\Leftrightarrow\forall x\ P(x)\lor Q \]

    • \[\forall x\ (P(x)\land Q)\Leftrightarrow\forall x\ P(x)\land Q \]

    • \[\forall x\ (P(x)\rightarrow Q)\Leftrightarrow\exist x\ P(x)\rightarrow Q \]

    • \[\forall x\ (Q\rightarrow P(x))\Leftrightarrow Q\rightarrow\forall x\ P(x) \]

    • \[\exist x\ (P(x)\lor Q)\Leftrightarrow\exist x\ P(x)\lor Q \]

    • \[\exist x\ (P(x)\land Q)\Leftrightarrow\exist x\ P(x)\land Q \]

    • \[\exist x\ (P(x)\rightarrow Q)\Leftrightarrow\forall x\ P(x)\rightarrow Q \]

    • \[\exist x\ (Q\rightarrow P(x))\Leftrightarrow Q\rightarrow\exist x\ P(x) \]

  • 量词分配等值式：

    • \[\forall x\ (P(x)\land Q(x))\Leftrightarrow\forall x\ P(x)\land\forall x\ Q(x). \]

    • \[\exist x\ (P(x)\land Q(x))\Leftrightarrow\exist x\ P(x)\land\exist x\ Q(x). \]

置换规则仍然成立。

换名规则：设\(A\)为一公式。将\(A\)中某量词辖域中的一个约束变项的所有出现及相应的指导变元全部改成该量词辖域中未曾出现过的某个个体变项符号，其余部分不变，这样的到的公式\(A'\Leftrightarrow A\)。

一阶逻辑前束范式

定义5.2 形如

\[\Delta_1x_1\dots\Delta_nx_n\ A \]

的一阶逻辑公式称作前束范式，其中\(\Delta_i\in\{\forall,\exist\}\ (i\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n)\)，\(A\)为不含量词的公式。

定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式。

一阶逻辑的推理理论

推理定律：

• 命题逻辑推理定律的代换实例

• 基本等值式

• 一些常用的重要推理定律：

  • \[\forall x\ P(x)\lor\forall x\ Q(x)\implies\forall x\ (P(x)\lor Q(x)). \]

  • \[\exist x\ (P(x)\land Q(x))\implies\exist x\ P(x)\land\exist x\ Q(x). \]

  • \[\forall x\ (P(x)\rightarrow Q(x))\implies\forall x\ P(x)\rightarrow\forall x\ Q(x). \]

  • \[\forall x\ (P(x)\rightarrow Q(x))\implies\exist x\ P(x)\rightarrow\exist x\ Q(x). \]

消去和引入量词的规则：设前提集合为\(\mathcal{P}\)。

1. 全称量词消去规则（\(\forall-\)）：

   \[\forall x\ P(x)\implies P(y), \]

   其中在\(A\)中\(x\)不在以\(y\)为指导变元的辖域内自由出现。

2. 全称量词引入规则（\(\forall+\)）：

   \[P(y)\implies\forall x\ P(x), \]

   其中\(y\)是不在\(\mathcal{P}\)中任何一个公式内自由出现的个体变项。

3. 存在量词消去规则（\(\exist-\)）：

   \[P(y)\rightarrow Q\implies\exist x\ P(x)\rightarrow Q, \]

   其中\(y\)是不在\(\mathcal{P}\)中任何公式和\(Q\)中自由出现的个体变项。

4. 存在量词引入规则（\(\exist+\)）：

   \[Q\rightarrow P(y)\implies Q\rightarrow\exist x\ P(x), \]

   其中在\(A\)中\(y\)不在以\(x\)为指导变元的辖域内自由出现。

定义5.3 自然推理系统\(N_{\mathscr{L}}\)定义如下：

1. 字母表：同\(\mathscr{L}\)的字母表
2. 合式公式：同\(\mathscr{L}\)的合式公式
3. 推理规则：
   1. 前提引入规则
   2. 结论引入规则
   3. 置换规则
   4. 假言推理规则
   5. 附加规则
   6. 化简规则
   7. 拒取式规则
   8. 假言三段论规则
   9. 析取三段论规则
   10. 构造性二难规则
   11. 合取引入规则
   12. \(\forall-\)规则
   13. \(\forall+\)规则
   14. \(\exist-\)规则
   15. \(\exist+\)规则

集合论

集合代数

集合的基本概念

集合的运算

有穷集的计数

二元关系

有序对与Descartes积

二元关系

定义7.3 如果一个集合的元素都是有序对，则称该集合为一个(二元)关系。

定义7.4 设\(S,T\)为集合，\(S\times T\)的任何子集都称作从\(S\)到\(T\)的二元关系。特别地，当\(T=S\)时，称作\(S\)上的二元关系。

定义7.5 对任何集合\(S\)，定义全域关系

\[E_S=A^2 \]

和恒等关系

\[I_S=\{\langle x,x\rangle:x\in S\}. \]

有穷集上的关系还可以用关系矩阵（邻接矩阵）或关系图表示。

关系的运算

定义7.6 设\(R\)为二元关系。其定义域

\[\operatorname{dom}R=\{x:\exist y\ (\langle x,y\rangle\in R)\}, \]

值域

\[\operatorname{ran}R=\{y:\exist x\ \langle x,y\rangle\in R\}, \]

域

\[\operatorname{fld}R=\operatorname{dom}R\cup\operatorname{ran}R. \]

定义7.7 逆关系。

定义7.8 右复合。

定义7.9 设\(R\)为二元关系，\(S\)为集合。称

\[R\upharpoonright S=\{\langle x,y\rangle:x\in S\land xRy\} \]

为\(R\)在\(S\)上的限制，称

\[R[S]=\operatorname{ran}(R\upharpoonright S) \]

为\(S\)在\(R\)下的像。

定理7.1 设\(R\)为关系，则\((R^{-1})^{-1}=R\)，且\(\operatorname{dom}R^{-1}=\operatorname{ran}R,\ \operatorname{ran}R^{-1}=\operatorname{dom}R\)。

定理7.2 关系的右复合运算满足结合律。若\(R_1,R_2\)是关系，则

\[(R_1\circ R_2)^{-1}=R_2^{-1}\circ R_1^{-1}. \]

定理7.4 设\(R_1,R_2,R_3\)都是关系，则

• \[R_1\circ(R_2\cup R_3)=R_1\circ R_2\cup R_1\circ R_3. \]

• \[(R_1\cup R_2)\circ R_3=R_1\circ R_3\cup R_2\circ R_3. \]

• \[R_1\circ(R_2\cap R_3)\subseteq R_1\circ R_2\cap R_1\circ R_3. \]

• \[(R_1\cap R_2)\circ R_3\subseteq R_1\circ R_3\cap R_2\circ R_3. \]

定理7.5 设\(R\)为关系，\(S,T\)为集合，则

• \[R\upharpoonright(S\cup T)=R\upharpoonright S\cup R\upharpoonright T. \]

• \[R[S\cup T]=R[S]\cup R[T]. \]

• \[R\upharpoonright(S\cap T)=R\upharpoonright S\cap R\upharpoonright T. \]

• \[R[S\cap T]\subseteq R[S]\cap R[T]. \]

定理7.6 有限集上的二元关系的幂运算必有周期性，即若\(R\)是集合\(S\)上的关系，则\(\exist m,n\in\mathbb{N}\ (R^m=R^n)\)。

定理7.7 设\(R\)为集合\(S\)上的关系，\(m,n\in\mathbb{N}\)，则\(R^m\circ R^n=R^{m+n},\ (R^m)^n=R^{m\cdot n}\)。

定理7.8 设\(R\)为集合\(S\)上的关系。若存在\(m,n\in\mathbb{N}\ (m<n)\)使得\(R^m=R^n\)，则

\[\forall i\in\mathbb{N}^*\ (R^{m+pi}=R^n), \]

其中\(p=n-m\)。设\(P=\{R^i:i\in\mathbb{N},\ i<n\}\)，则

\[\forall i\in\mathbb{N}\ (R^i\in P). \]

关系的性质

定义7.11 自反性、反自反性。

定义定义7.12 对称性、反对称性。

定义7.13 传递性。

关系的闭包

定义7.14 设\(R\)是非空集合\(S\)上的关系。分别定义\(R\)的自反、对称、传递闭包\(r(R),s(R),t(R)\)为\(R'\subseteq S^2\)，如果\(R'\)满足：

1. \(R'\)分别自反或对称或传递。
2. \(R\subseteq R'\)。
3. 对\(S\)上任何包含\(R\)的自反或对称或传递关系\(R''\)分别有\(R'\subseteq R''\)。

定理7.10 设\(R\)是集合\(S\)上的关系，则

• \[r(R)=R\cup R^0=R\cup I_S. \]

• \[s(R)=R\cup R^{-1}. \]

• \[t(R)=\bigcup_{n=1}^{+\infty}R^n. \]

特别地，若\(S\)为有穷集，则存在正整数\(\tau\leq|S|\)，使得

\[t(R)=\bigcup_{n=1}^{\tau}R^n. \]

设\(M_R\)是\(R\)的关系矩阵，\(E\)为全\(1\)矩阵，则

• \[M_{r(R)}=M\lor E. \]

• \[M_{s(R)}=M\lor M^{\top}. \]

• \[M_{t(R)}=\bigvee_{n=1}^{+\infty}M^n, \]

  其中矩阵乘法为\(\langle\lor,\land\rangle\)广义矩阵乘法。

由此可得求传递闭包的Warshall算法：

\[\begin{array}{rl} 1 & \mathbf{function}\ warshall(r)\\ 2 & \qquad\mathbf{for}\ k\in\mathbb{N}\cap[1,n]\\ 3 & \qquad\qquad\mathbf{for}\ i\in\mathbb{N}\cap[1,n]\\ 4 & \qquad\qquad\qquad\mathbf{for}\ j\in\mathbb{N}\cap[1,n]\\ 5 & \qquad\qquad\qquad\qquad r_{i,j}\gets r_{i,j}\lor(r_{i,k}\land r_{k,j})\\ 6 & \qquad\mathbf{return}\ r \end{array} \]

定理7.11 设\(R\)是非空集合\(S\)上的关系，则

• \(R\)自反当且仅当\(r(R)=R\)。
• \(R\)对称当且仅当\(s(R)=R\)。
• \(R\)传递当且仅当\(t(R)=R\)。

定理7.12 设\(R_1,R_2\)都是非空集合\(S\)上的关系且\(R_1\subseteq R_2\)，则

\[\forall c\in\{r,s,t\}\ (c(R_1)\subseteq c(R_2)). \]

定理7.13 设\(R\)是非空集合\(S\)上的关系，则

• 若\(R\)自反，则\(s(R),t(R)\)也都自反。
• 若\(R\)对称，则\(r(S),t(R)\)也都对称
• 若\(R\)传递，则\(r(R)\)传递，\(s(R)\)不一定传递。

因此，如果要计算\(R\)的自反、对称且传递的闭包，应当在得到对称闭包后再计算传递闭包，例如\(r\circ s\circ t\)。

等价关系与划分

定义7.15 设\(\sim\)为非空集合\(S\)上的关系。若\(\sim\)自反、对称、传递，则称\(R\)为\(S\)上的等价关系。对于\(\langle x,y\rangle\in\sim\)，也称\(x\)等价于\(y\)，记作\(x\sim y\)。

定义7.16 设\(\sim\)为非空集合\(S\)上的等价关系，对任何\(x\in S\)，称

\[[x]_{\sim}=\{y:y\in S\land x\sim y\} \]

为\(x\)关于\(\sim\)的等价类，简称为\(x\)的等价类，简记为\([x]\)或\(\overline{x}\)。

定理7.14（等价类的性质） 设\(\sim\)为非空集合\(S\)上的等价关系，则

• \[\forall x\in S\ ([x]\subseteq S). \]

• \[\forall x,y\in S\ ((x\sim y)\iff([x]=[y])). \]

• \[\forall x,y\in S\ ((x\nsim y)\implies([x]\cap[y]=\varnothing)). \]

• \[\cup\{[x]:x\in S\}=S. \]

定义7.17 设\(\sim\)为非空集合\(S\)上的等价关系，称

\[S/\sim=\{[x]_{\sim}:x\in S\} \]

为\(S\)关于\(\sim\)的商集。

定义7.18 设\(S\)为非空集合，若\(\varpi\subseteq\mathscr{P}(S)\)满足

• \(\varnothing\notin\varpi\)
• \(\forall x\forall y\ ((x,y\in\varpi)\land(x\neq y)\rightarrow(x\land y=\varnothing))\)
• \(\cup\varpi=S\)

则称\(\varpi\)是\(S\)的一个划分，称\(\varpi\)中的元素为划分块。

非空集合上的等价关系与划分是一一对应的。

偏序关系

定义7.19 设\(\leq\)为非空集合\(S\)上的关系。若\(\leq\)自反、反对称、传递，则称\(\leq\)为\(S\)上的偏序关系。若\(\langle x,y\rangle\in\leq\)，则称\(x\)小于等于\(y\)，记作\(x\leq y\)。

定义7.20 严格偏序关系。

定义7.21 设\(\leq\)为非空集合\(S\)上的偏序关系。若\(\forall x,y\in S\ ((x\leq y)\lor(y\leq x))\)，则称\(\leq\)为\(S\)上的全/线序关系。

定义7.22 集合\(S\)及其上的偏序关系\(\leq\)一起称作偏序集，记作\(\langle S,\leq\rangle\)。

定义7.23 设\(\langle S,\leq\rangle\)为偏序集。对任意\(x,y\in S\)，若\(x<y\)且\(\nexists z\in S\ (x<z<y)\)，则称\(y\)覆盖\(x\)。

定义7.24 设\(\langle S,\leq\rangle\)为偏序集，\(T\subseteq S,\ m\in T\)。

• 若\(\forall x\ ((x\in T)\rightarrow(m\leq x))\)，则称\(m\)为\(T\)的最小元。
• 若\(\forall x\ ((x\in T)\rightarrow(x\leq m))\)，则称\(m\)为\(T\)的最大元。
• 若\(\forall x\ (((x\in T)\land(x\leq m))\rightarrow(x=m))\)，则称\(m\)为\(T\)的极小元。
• 若\(\forall x\ (((x\in T)\land(m\leq x))\rightarrow(x=m))\)，则称\(m\)为\(T\)的极大元。

有穷集必有极小元，但不一定有最小元；有穷集如果有最小元，则最小元必唯一且为极小元，但极小元不一定唯一；有穷集如果有唯一的极小元，则必为最小元。

定义7.25 设\(\langle S,\leq\rangle\)为偏序集，\(T\subseteq S,\ x\in S\)。

• 若\(\forall x\ ((x\in T)\rightarrow(x\leq m))\)，则称\(m\)为\(T\)的上界。
• 若\(\forall x\ ((x\in T)\rightarrow(m\leq x))\)，则称\(m\)为\(T\)的下界。
• 设\(M=\{m:m\text{为\)T\(的上界}\}\)，称\(M\)的最小元为\(T\)的上确/最小上界。
• 设\(M=\{m:m\text{为\)T\(的下界}\}\)，称\(M\)的最大元为\(T\)的下确/最大下界。

一个集合的最小元一定是下确界，最大元一定是上确界。一个集合的上下(确)界都可能不存在。如果存在的话，上下确界必唯一。

函数

函数的定义与性质

定义8.1 设\(f\)为二元关系。若对任意\(x\in\operatorname{dom}f\)都有唯一的\(y\in\operatorname{ran}f\)使\(\langle x,y\rangle\in f\)，则称\(f\)为函数/映射，并将\(\langle x,y\rangle\in f\)记为\(y=f(x)\)。

定义8.2 函数相等。

定义8.3 设\(C,D\)为集合，\(f\)为函数。若\(\operatorname{dom}f=D,\ \operatorname{ran}f\subseteq C\)，则称\(f\)为从\(D\)到\(C\)的函数，其中\(D\)称为定义域，\(C\)称为陪域。

定义8.4 设\(C,D\)为集合。称

\[C^D=\{f:(f:D\to C)\} \]

为\(C\)上\(D\)。

定义8.5 设\(f:D\to C,\ D'\subseteq D,\ C'\subseteq C\)。

• 称

  \[f(D')=\{f(x):x\in D'\} \]

  为\(D'\)在\(f\)下的像。特别地，称\(f(D)\)为函数\(f\)的像。

• 称\(f^{-1}(C')\)为\(C'\)在\(f\)下的完全原像。

定义86.6 单射、满射、双射。

定义8.7 常函数、恒等函数、单调函数、严格单调函数。

• 设\(U\)为集合，对于任意\(S\subseteq U\)，定义\(S\)的特征函数

  \[\chi_S:x\mapsto \begin{cases} 1 & (x\in S)\\ 0 & (x\in U\setminus S) \end{cases}. \]

• 设\(\sim\)是集合\(S\)上的等价关系。称\([\cdot]:S\mapsto S/\sim\)为从\(S\)到商集\(S/\sim\)的自然映射。

函数的复合与反函数

定理8.1 设\(f,g\)都是函数，则\(f\circ g\)也是函数，且

\[\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x:(x\in\operatorname{dom}f)\land(f(x)\in\operatorname{dom}G)\}. \]

特别地，若\(f:A\to B,\ g:B\to C\)，则\((f\circ g):A\to C\)。

定理8.2 设\(f:A\to B,\ g:B\to C\)。

• 若\(f,g\)都是单射，则\(f\circ g\)也是单射。
• 若\(f,g\)都是满射，则\(f\circ g\)也是满射。
• 若\(f,g\)都是双射，则\(f\circ g\)也是双射。

定理8.3 设\(f:D\to C\)，则

\[f\circ I_C=f=I_D\circ f, \]

其中\(I_S\)是集合\(S\)上的恒等函数。

定理8.4 若\(f:D\to R\)是双射，则\(f^{-1}\)是\(R\to D\)的双射。此时称\(f^{-1}\)为\(f\)的反函数。

定理8.5 若\(f:D\to R\)是双射，则

\[f^{-1}\circ f=I_R,\ f\circ f^{-1}=I_D. \]

双射函数与集合的基数

定义8.8 设\(S,T\)是集合。若存在双射\(f:S\to T\)，则称\(S\)和\(T\)等势，记作\(S\approx T\)，否则记作\(S\not\approx T\)。

\[\begin{array}{c} \mathbb{Z}\approx\mathbb{N},\\ \mathbb{N}^2\approx\mathbb{N},\\ \mathbb{N}\approx\mathbb{Q},\\ (0,1)\approx\mathbb{R},\\ [0,1]\approx(0,1),\\ \mathscr{P}(S)\approx\{0,1\}^S, \end{array} \]

其中\(S\)为任意集合。

定理8.6 等势是等价关系。

定理8.7（Cantor定理）

1. \(\mathbb{N}\not\approx\mathbb{R}\)。

2. 对任何集合\(S\)，

   \[S\not\approx\mathscr{P}(S). \]

定义8.9 设\(S,T\)是集合。若存在单射\(f:S\to T\)，则称\(B\)优势于\(A\)，记作\(S\preceq T\)，否则记作\(S\npreceq T\)。如果\(S\preceq T\)且\(S\not\approx T\)，则称\(T\)真优势于\(S\)，记作\(S\prec T\)，否则记作\(S\nprec T\)。

定理8.8 优势于关系是偏序关系。

定义8.10（自然数的集合定义） 定义\(0=\varnothing\)。对每个已有的自然数\(n\)，定义其后继为

\[n^+=n\cup\{n\}. \]

这样定义的自然数有一些奇妙性质，例如

\[\forall m,n\in\mathbb{N}\ (m<n\iff m\in n\iff m\subseteq n) \]

和

\[\forall m,n\in\mathbb{N}\ (m=n\iff m\approx n). \]

自然数具有三歧性，即对于任意\(m,n\in\mathbb{N}\)，\(m<n,\ m=n,\ m>n\)三条关系中有且仅有一条成立。

定义8.11 一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势，否则称其为无穷的。

定义8.12 对于有穷集和\(S\)，称与\(S\)等势的那个自然数为\(S\)的基数，记作\(\operatorname{card}S\)或\(|S|\)，即

\[|S|=n\iff S\approx n\ (n\in\mathbb{N}). \]

将\(|\mathbb{N}|\)记作\(\aleph_0\)，将\(|\mathbb{R}|\)记作\(\aleph\)。

定义8.13 基数的相等和大小。

自然数都是有穷集合的基数，也称为有穷基数。\(\aleph_0,\aleph,|\mathscr{P}(\mathbb{R})|\)等是无穷集合的基数，也成为无穷基数。

定义8.14 设\(S\)为集合。若\(|S|\leq\aleph_0\)，则称\(S\)为可列/数集。

可列集的性质：

• 可列集的子集可列。
• 有限个可列集的并集可列。
• 有限个可列集的Descartes积可列。

一个电话系统的描述实例

代数结构

第9章 代数系统

9.1 二元运算及其性质

定义9.1 设\(S\)为集合。若函数\(f:S^2\to S\)，则称\(f\)为(\(S\)上的)二元运算。

定义9.2 设\(S\)为集合。若函数\(f:S\to S\)，则称\(f\)为(\(S\)上的)一元运算。

定义9.3 交换律

定义9.4 结合律。

定义9.5 设\(\circ\)为集合\(S\)上的二元运算，若

\[\forall x\in S\ (x\circ x=x), \]

则称\(\circ\)适合幂等律。若存在\(x\in S\)满足\(x\circ x=x\)，则称\(x\)为\(\circ\)的幂等元。

定义9.6 设\(\circ,*\)是集合\(S\)上的两个二元运算。如果

\[\forall x,y,z\in S\ (x*(y\circ z)=(x*y)\circ(x*z)), \]

则称\(*\)对\(\circ\)适合左分配律；如果

\[\forall x,y,z\in S\ ((x\circ y)*z=(x*z)\circ(y*z)), \]

则称\(*\)对\(\circ\)适合右分配律。如果\(*\)对\(\circ\)同时满足左分配律和右分配律，则称\(*\)对\(\circ\)适合分配律。

定义9.7 设\(\circ,*\)是集合\(S\)上可交换的两个二元运算。若

\[\forall x,y\in S\ (x*(x\circ y)=x=x\circ(x*y)), \]

则称\(\circ\)和\(*\)满足*吸收律。

定义9.8 左单位元、右单位元、单位/幺元。

定理9.1 若左单位元和右单位元都存在，则二者必相等，即为单位元。因此单位元若存在必唯一。

定义9.9 左零元、右零元、零元。

定理9.2 若左零元和右零元都存在，则二者必相等，即为零元。因此零元若存在必唯一。

定理9.3 设\(\circ\)是集合\(S\)上的二元运算，\(e,\theta\)分别是\(\circ\)的幺元和零元。若\(|S|\geq2\)，则\(e\neq\theta\)。

定义9.10 左逆元、右逆元、逆元。若\(x\)有逆元，则称\(x\)可逆。

定理9.4 对于可结合的运算，若一个元素的左逆元和右逆元都存在，则二者必相等，即为逆元。因此对于可结合的运算，逆元若存在必唯一。

定义9.11 设\(\circ\)是集合\(S\)上的二元运算，\(\theta\)为\(\circ\)的零元。若

\[\forall x,y,z\in S\ (((x\neq\theta)\land(x\circ y=x\circ z))\to(y=z)), \]

则称\(\circ\)适合左消去律；若

\[\forall x,y,z\in S\ (((x\neq\theta)\land(y\circ x=z\circ x))\to(y=z)), \]

则称\(\circ\)适合右消去律。若\(\circ\)同时满足左消去律和右消去律，则称\(\circ\)适合消去律。

9.2 代数系统

定义9.12 非空集合\(S\)及其上\(n\)个一元或二元运算\(f_1,\dots,f_n\)组成的系统称作一个代数(系统)，记作\(\langle S,f_1,\dots,f_n\rangle\)。

在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它们对该系统的某些运算起着重要的作用。如果把含有这样的特定元素也作为系统的性质，则称这些元素为该代数系统的特异元素/代数常数。

定义9.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分/是同类型的代数系统。

定义9.14 设\(V=\langle S,f_1,\dots,f_n\rangle\)是代数系统，\(B\subseteq S\)。若\(B\)对\(f_1,\dots,f_n\)都封闭，且\(B\)和\(S\)含有相同的代数常数，则称\(\langle B,f_1,\dots,f_n\rangle\)为\(V\)的子代数(系统)。

对于任何代数系统\(V\)，其子代数一定存在，因为最大的子代数就是\(V\)自己。如果\(V\)中所有的代数常数构成的集合对\(V\)中所有运算都封闭，则这个集合构成了\(V\)最小的子代数。最大和最小的子代数称为\(V\)的平凡的子代数。如果\(B\subsetneq S\)，则将\(B\)构成的子代数称为\(V\)的真子代数。

定义9.15 设\(U=\langle S,\circ\rangle,\ V=\langle T,*\rangle\)是同类型的代数系统，\(\circ,*\)都是二元运算，定义运算

\[\cdot:\langle\langle x_1,y_1\rangle,\langle x_2,y_2\rangle\rangle\mapsto\langle x_1\circ x_2,y_1*y_2\rangle, \]

称\(W=\langle S\times T,\cdot\rangle\)为\(U\)与\(V\)的积代数，记作\(U\times V\)，这时称\(U,V\)为\(W\)的因子代数。

定义9.5 设\(V_i=\langle S_i,\circ_i\rangle\ (i\in\{1,2\})\)是同类型的代数系统，\(V=V_1\times V_2=\langle S_1\times S_2,\cdot\rangle\)。

• 若\(\circ_i\ (i\in\{1,2\})\)都可交换，则\(\cdot\)也可交换。
• 若\(\circ_i\ (i\in\{1,2\})\)都可结合，则\(\cdot\)也可结合。
• 若\(\circ_i\ (i\in\{1,2\})\)都幂等，则\(\cdot\)也幂等。
• 若\(\circ_i\ (i\in\{1,2\})\)分别有幺元\(e_i\)，则\(\cdot\)有幺元\(\langle e_1,e_2\rangle\)。
• 若\(\circ_i\ (i\in\{1,2\})\)分别有零元\(\theta_i\)，则\(\cdot\)有零元\(\langle \theta_1,\theta_2\rangle\)。
• 若\(x_i\in S_i\ (i\in\{1,2\})\)都可逆，则\(\langle x_1,x_2\rangle\)有逆元\(\langle x_1^{-1},x_2^{-1}\rangle\)。

9.3 代数系统的同态与同构

定义9.16 设\(U=\langle S,\circ\rangle,\ V=\langle T,*\rangle\)是同类型的代数系统。若存在\(f:S\to T\)满足

\[\forall x,y\in S\ (f(x\circ y)=f(x)*f(y)), \]

则称\(f\)是\(U\)到\(V\)的同态(映射)。特别地，若\(f\)是单射，则称作单同态；若\(f\)是满射，则称作满同态；若\(f\)是双射，则称作同构，此时称\(U\)同构于\(V\)，记作\(U\cong V\)；若\(S=T\)，则称作自同态。

第10章 群与环

10.1 群的定义及性质

定义10.1 设\(G=\langle S,\circ\rangle\)，\(\circ\)是二元运算。若\(\circ\)可结合，则称\(G\)为半群。若\(G\)为半群且有单位元，则称\(G\)为幺半群/独异点。若\(G\)为幺半群且任意元素均可逆，则称\(G\)为群。若\(G\)为群且\(\circ\)可交换，则称\(G\)为交换/Abel群。

(Klein)四元群：

\(\circ\)	\(e\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(e\)	\(e\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(a\)	\(a\)	\(e\)	\(c\)	\(b\)
\(b\)	\(b\)	\(c\)	\(e\)	\(a\)
\(c\)	\(c\)	\(b\)	\(a\)	\(e\)

其规律是，\(e\circ x=x\)，\(x\circ y=z\)，其中\(\{e,a,b,c\}=\{e,x,y,z\}\)。

定义10.2 设\(G\)为群。若\(G\)有穷，则称\(G\)为有限群，否则称为无限群。\(G\)的基数称为\(G\)的阶。只含单位元的群称作平凡群。

定义10.3 设\(G\)是群。对任意\(a\in G,\ n\in\mathbb{Z}\)，定义\(a\)的\(n\)次幂

\[a^n= \begin{cases} e & (n=0)\\ a^{n-1}a & (n>0)\\ (a^{-1})^{-n} & (n<0) \end{cases}. \]

定义10.4 设\(G\)是群，\(a\in G\)。将满足\(a^o=e\)的最小正整数\(o\)称为\(a\)的阶/周期，记作\(|a|=o\)，这时也称\(a\)为\(o\)阶元。若不存在这样的正整数，则称\(a\)为无限阶元。

定理10.1 设\(G\)为群，则对任意\(a,b\in G,\ m,n\in\mathbb{Z}\)，满足

• \[(a^{-1})^{-1}=a. \]

• \[(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. \]

• \[a^ma^n=a^{m+n}. \]

• \[(a^m)^n=a^{m+n}. \]

特别地，若\(G\)为交换群，则

\[(\forall a,b\in G)\ (\forall n\in\mathbb{Z})\ ((ab)^n=a^nb^n). \]

定理10.2 群满足消去律。

定理10.3 设\(G\)为群，\(a\in G\)满足\(|a|=m\)，于是

\[\forall n\in\mathbb{Z}\ (a^n=e\iff m\mid n), \]

且

\[|a^{-1}|=|a|. \]

10.2 子群与群的陪集分解

定义10.5 子群就是群的子代数，真子群就是群的真子代数。子群一定非空。将\(H\)为\(G\)的子群记作\(H\leq G\)，将\(H\)为\(G\)的真子群记作\(H<G\)。设\(S=\{H:H\leq G\}\)，则\(\langle S,\leq\rangle\)构成偏序集，称作\(G\)的子群格。

任何群\(G\)都存在子群，\(G\)和\(\{e\}\)，它们称为\(G\)的平凡子群。

定理10.4（子群判定定理一） 设\(G\)为群，\(\varnothing\neq H\subseteq G\)。\(H\)是\(G\)的子群，当且仅当\(H\)对\(G\)的运算和逆元运算都封闭。

定理10.5（子群判定定理二） 设\(G\)为群，\(\varnothing\neq H\subseteq G\)。\(H\)是\(G\)的子群，当且仅当

\[\forall a,b\in H\ (ab^{-1}\in H). \]

定理10.6（子群判定定理三） 设\(G\)为群，\(\varnothing\neq H\subseteq G\)。若\(|H|<\aleph_0\)即\(H\)有穷，则\(H\)是\(G\)的子群当且仅当

\[\forall a,b\in H\ (ab\in H). \]

设\(G\)为群，\(a\in G\)。将

\[\langle a\rangle=\{a^n:n\in\mathbb{Z}\} \]

称作由\(a\)生成的子群。

设\(c\)为群，称子群

\[C=\{a:a\in G\land(\forall x\in G\ (ax=xa))\} \]

为\(G\)的中心，即\(G\)中所有与所有元素都可交换的元素构成的集合。中心一定存在且非空，因为一定有\(e\in C\)。

设\(S\)是\(G\)的子集。将\(G\)中所有包含\(S\)的子群的交

\[\langle S\rangle=\cap\{H:S\subseteq H\leq G\} \]

称作由\(S\)生成的子群。任何\(x\in\langle S\rangle\)都可以写为

\[x=\prod_{s\in S,\ b\in\{-1,1\}}s^b. \]

定义10.6 设\(G\)是群，\(H\leq G\)，\(a\in G\)。称

\[Ha=\{ha:h\in H\} \]

为子群\(H\)在\(G\)中的右陪集，称\(a\)为\(Ha\)的代表元素。

定理10.7 设\(G\)为群，\(H\leq G\)，则\(He=H\)，且

\[\forall a\in G\ (a\in Ha). \]

定理10.8（右陪集相等的充要条件） 设\(G\)为群，\(H\leq G\)，则

\[\forall a,b\in G\ (a\in Hb\iff ab^{-1}\in H\iff Ha=Hb), \]

因此右陪集中的任何元素都可以作为代表元素。因此

定理10.9 设\(G\)为群，\(H\leq G\)。\(H\)的所有右陪集的集合\(\{Ha:a\in G\}\)是对\(G\)的一个划分，且其所有划分块都与\(H\)等势，即

\[\forall a\in G\ (Ha\approx H). \]

同理可以定义左陪集。

若群\(G\)的子群\(H\)满足

\[\forall a\in G\ (Ha=aH), \]

则称\(H\)为\(G\)的正规/不变子群，记作\(H\trianglelefteq G\)。任何群都有正规子群，因为平凡子群\(\{e\}\)和\(G\)总是正规的。

右陪集和左陪集的个数必定相等，即若\(H\)是群\(G\)的子群，则

\[\{Ha:a\in G\}\approx\{aH:a\in G\}, \]

将右陪集数和左陪集数统称为陪集数，也称作\(H\)在\(G\)中的指数，记作\([G:H]\)。

定理10.10（Lagrange定理） 设\(G\)是有限群，\(H\leq G\)，则

\[|G|=|H|\cdot[G:H]. \]

推论 设\(G\)为\(n\)阶群，则

\[\forall a\in G\ (a^n=e), \]

因而

\[\forall a\in G\ (|a|\mid n). \]

推论 设群\(G\)的阶为质数，则

\[\exists a\in G\ (G=\langle a\rangle). \]

设\(G\)为群。若\(\forall x\in G\ (x^2=e)\)，则\(G\)为Abel群。

\(6\)阶群中必含有\(3\)阶元。

阶小于\(6\)的群都是Abel群。

10.3 循环群与置换群

定义10.7 若存在\(a\in G\)使\(G=\langle a\rangle\)，则称\(G\)为循环群，称\(a\)为\(G\)的生成元。若\(|a|=n\in\mathbb{N}\)，则\(G=\{a^m:m\in\mathbb{N},\ m<n\}\)称为\(n\)阶循环群；若\(a\)是无限阶元，则称\(G=\{a^m:m\in\mathbb{Z}\}\)为无限循环群。

定理10.11 设\(G=\langle a\rangle\)为循环群。若\(G\)是无限循环群，则\(G\)有且仅有两个生成元\(a,a^{-1}\)；若\(G\)是\(n\)阶循环群，则对于任何\(m\in\mathbb{N}\)满足\(m\perp n\)，\(a^m\)都是\(G\)的生成元，即一共\(\varphi(n)\)个生成元，其中\(\varphi\)是Euler函数。

定理10.12 循环群的子群仍是循环群；无限循环群的子群除\(\{e\}\)以外都是无限循环群；设\(G\)为\(n\)阶循环群，则对于每个\(d\in\mathbb{N}^*\)满足\(d\mid n\)，\(G\)恰有一个\(d\)阶子群\(\langle a^{n/d}\rangle\)。

定义10.8 设\(n\in\mathbb{N}^*,\ N=\mathbb{N}\cap[1,n]\).任何双射\(\sigma:N\to N\)都称为\(N\)上的\(n\)元置换，用双行记号记作

\[\sigma= \begin{pmatrix} 1 & \cdots & n\\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}. \]

定义10.9 设\(\sigma,\tau\)都是\(n\)元置换，则\(\sigma\circ\tau\)也是\(n\)元置换，称作\(\sigma\)与\(\tau\)的乘积，写作\(\sigma\tau\)。

定义10.10 设\(\sigma\)是\(n\)元置换，若存在序列\((i_j)_{j=1}^{m}\)满足\(\forall j\in\mathbb{N}\cap[1,m]\ (\sigma(i_j)=\sigma(i_{j\bmod m+1}))\)且\(\forall j\in\mathbb{N}\cap[1,n]\ ((\nexists k\in\mathbb{N}\cap[1,m]\ (i_k=j))\to\sigma(j)=j)\)，则称\(\sigma\)为\(m\)阶轮换，记作\((i_j)_{j=1}^m\)。特别地，若\(m=2\)，则称\(\sigma\)为\(S\)上的对换。

任何置换都可以唯一分解为不交的轮换之积，而任何轮换都可以表示为对换之积。

同一个置换的对换表示式不一定唯一，但其中所含对换个数必定相同。将置换的对换表示式中对换的个数的奇偶性称为置换的奇偶性。\(n\)元置换的奇置换和偶置换之间可以一一对应，各有\(n!/2\)个。

设\(S_n\)为所有\(n\)元置换，则\(S_n\)关于置换的乘法构成群，称为\(n\)元对称群。其所有子群都称作\(n\)元置换群。其中所有\(n\)元偶置换构成的子群称为\(n\)元交错群。

定理10.13（Pólya计数定理） 设\(n\in\mathbb{N}^*,\ N=\mathbb{N}\cap[1,n]\)，\(G\)是\(N\)上的置换群，则用\(m\)种颜色对\(N\)中元素染色，而在\(G\)作用下不同的染色方案数为

\[M=\frac{1}{|G|}\sum_{\sigma\in G}m^{|\sigma|}, \]

其中\(|\sigma|\)是置换\(\sigma\)在轮换表示式中包括\(1\)阶轮换在内的轮换个数。

10.4 环与域

定义10.11 设\(\langle R,+,\cdot\rangle\)是代数系统，\(+,\cdot\)都是二元运算。若

• \(\langle R,+\rangle\)构成交换群
• \(\langle R,\cdot\rangle\)构成半群
• \(\cdot\)关于\(+\)运算适合分配律

则称\(\langle R,+,\cdot\rangle\)是一个环。通常将\(+\)的单位元记作\(0\)，将\(\cdot\)的单位元记作\(1\)（如果存在）。

定理10.14 设\(\langle R,+,\cdot\rangle\)是环，则

• \[\forall a\in R\ (a\cdot0=0\cdot a=0). \]

• \[\forall a,b\in R\ ((-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-a\cdot b). \]

• \[\forall a,b,c\in R\ (a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c,\ (b-c)\cdot a=b\cdot a-c\cdot a). \]

• 分配律：

  \[(\forall\vec{a}\in R^m)\ (\forall\vec{b}\in R^n)\ \left(\left(\sum_{i=1}^ma_i\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^nb_j\right)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_i\cdot b_j\right). \]

定义10.12 设\(\langle R,+,\cdot\rangle\)是环。若环中乘法适合交换律，则称\(R\)为交换环；若环中乘法有单位元，则称\(R\)为含幺环；若

\[\forall a,b\in R\ (a\cdot b=0\implies(a=0)\lor(b=0)), \]

则称\(R\)为无零因子环。若\(R\)是交换环、含幺环、无零因子环，则称\(R\)为整环。若\(R\)是整环，\(|R|\geq2\)，且

\[(\forall a\in R\setminus\{0\})\ (\exists a^{-1}\in R)\ (a\cdot a^{-1}=1), \]

则称\(R\)是域。

定理10.15（Fermat小定理） 若\(p\)是质数，则

\[\forall a\in\mathbb{Z}\ (p\nmid a\implies a^{p-1}\equiv1\pmod{p}). \]

第11章 格与布尔代数

11.1 格的定义与性质

定义11.1 设\(\langle S,\leq\rangle\)是偏序集，若任意\(x,y\in S\)，集合\(\{x,y\}\)都有上确界\(x\vee y\)和下确界\(x\wedge y\)，则称\(S\)关于偏序\(\leq\)构成一个格。

定义11.2 设\(f\)是含有格中元素以及符号\(=,\leq,\geq,\vee,\wedge\)的命题。称是将\(f\)中的\(\leq\)替换为\(\geq\)，\(\geq\)替换为\(\leq\)，\(\vee\)替换为\(\wedge\)，\(\wedge\)替换为\(\vee\)所得到的命题\(f^*\)为\(f\)的对偶命题。

格的对偶原理 设\(f\)是含有格中元素以及符号\(=,\leq,\geq,\vee,\wedge\)的命题。若\(f\)对一切格为真，则\(f\)的对偶命题\(f^*\)也对一切格为真。

定理11.1 设\(\langle L,\leq\rangle\)是格，则运算\(\vee,\wedge\)满足交换律、结合律、幂等律和吸收律。

定理11.2 设\(\langle S,*,\circ\rangle\)是代数系统，其中二元运算\(*,\circ\)满足交换律、结合律、吸收律，则可以定义偏序\(\leq=\{\langle a,b\rangle\in S^2:a\circ b=b\}\)，使得\(\langle S,\leq\rangle\)构成一个格，且

\[\forall a,b\in S\ (a\wedge b=a*b,\ a\vee b=a\circ b). \]

由此可得格的等价定义

定义11.3 设\(\langle S,*,\circ\rangle\)是代数系统。若二元运算\(*,\circ\)满足交换律、结合律、吸收律（幂等律可由交换律、结合律、吸收律推出），则\(\langle S,*,\circ\rangle\)称为一个格。

定理11.3 设\(L\)是格，则

\[\forall a,b\in L\ (a\leq b\iff a\wedge b=a\iff a\vee b=b). \]

定理11.4 设\(L\)是格，则

\[\forall a,b,c,d\in L\ ((a\leq b)\land (c\leq d)\implies(a\wedge c\leq b\wedge d)\land(a\vee c\leq b\vee d)). \]

特别地，

\[\forall a,b,c\in L\ (a\vee(b\wedge c)\leq(a\vee b)\wedge(a\vee c)). \]

定义11.4 设\(\langle L,\wedge,\vee\rangle\)是格，\(\varnothing\neq S\subseteq L\)。若\(S\)关于\(\wedge,\vee\)仍构成格，则称\(S\)为\(L\)的子格。

11.2 分配格、有补格与布尔代数

定义11.5 设\(\langle L,\wedge,\vee\rangle\)是格。若

\[\forall a,b,c\in L\ (a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)), \]

则称\(L\)为分配格。由格的对偶原理，

\[(\forall a,b,c\in L\ (a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)))\iff(\forall a,b,c\in L\ (a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge(a\vee c))). \]

定理11.5 设\(L\)是格。\(L\)是分配格当且仅当\(L\)中不含有与钻石格或五角格同构的子格。

推论 小于\(5\)元的格都是分配格。

推论 链都是分配格。

定义11.6 设\(L\)是格。若存在\(a\in L\)使得\(\forall x\in L\ (a\leq x)\)，则称\(a\)为\(L\)的全下界。同理可以定义全上界。

定有11.7 设\(L\)是格。若\(L\)存在全下界\(0\)和全上界\(1\)，则称\(L\)为有界格，并将\(L\)记作\(\langle L,\wedge,\vee,0,1\rangle\)。

有限格一定是有界格。

有界格中，全下界是\(\wedge\)的零元、\(\vee\)的幺元，全上界是\(\vee\)的零元、\(\wedge\)的幺元。

定义11.8 设\(\langle L,\wedge,\vee,0,1\rangle\)是有界格。若\(a,b\in L\)满足

\[a\wedge b=0,\ a\vee b=1, \]

则称\(a,b\)互为补元。

任何有界格中，\(0,1\)总是互补，其他的元素的补元不一定存在也不一定唯一。

定理11.6 设\(\langle L,\wedge,\vee,0,1\rangle\)是有界分配格。若\(a\in L\)存在补元，则\(a\)有唯一的补元。

定义11.9 设\(\langle L,\wedge,\vee,0,1\rangle\)是有界格。若\(L\)中任何元素都有补元，则称\(L\)为有补格。

定义11.10 如果一个格是有补分配格，则称它为布尔格/代数。

定理11.7 设\(\langle B,\wedge,\vee,',0,1\rangle\)是布尔代数，则对任何\(a,b\in B\)，有

• 双重否定律：

  \[(a')'=a. \]

• De Morgan律：

  • \[(a\wedge b)'=a'\vee b'. \]

  • \[(a\vee b)'=a'\wedge b'. \]

定义11.11 设\(\langle B,*,\circ\rangle\)是代数系统，其中\(*,\circ\)都是二元运算。若\(*,\circ\)满足：

• 交换律

• 分配律

• 同一律：存在\(0,1\in B\)使得

  \[\forall a\in B\ ((a*1=a)\land(a\circ0=a)). \]

• 补元律：

  \[(\forall a\in B)\ (\exists a'\in B)\ ((a*a'=0)\land(a\circ a'=1)). \]

则称\(\langle B,*,\circ\rangle\)为一个布尔代数。

定义11.12 设\(L\)是格，\(0,a\in L\)。若

\[\forall b\in L\ ((0<b\leq a)\iff a=b), \]

则称\(a\)为\(L\)中的原子。

定理11.8（有限布尔代数的表示定理） 设\(B\)是有限布尔代数，\(A\)是\(B\)的全体原子构成的集合，则\(B\cong\langle\mathscr{P}(A),\subseteq\rangle\)。

推论 任何有限布尔代数的基数为\(2\)的幂。

推论 任何等势的有限布尔代数都同构。

图论

第14章 图的基本概念

14.1 图

设\(S,T\)为集合。称

\[S\And T\{\{s,t\}:s\in S\land t\in T\} \]

为\(S\)与\(T\)的无序积。将无序积中的集合\(\{s,t\}\)记作无序对\((s,t)\)。

定义14.1 一个无向图\(G=\langle V,E\rangle\)，其中顶点集\(V\)是一个非空有穷集，其元素称作顶/结点；边集\(E\)是\(V\And V\)的有穷多重子集，其元素称作(无向)边。

定义14.1 一个有向图\(D=\langle V,E\rangle\)，其中顶点集\(V\)是一个非空有穷集，其元素称作顶/结点；边集\(E\)是\(V\times V\)的有穷多重子集，其元素称作(有向)边。

顶点数称作图的阶。

一条边也没有的图称作零图，\(n\)阶零图记作\(N_n\)。\(1\)阶零图\(N_1\)称作平凡图。

图的运算可能产生顶点集为空集的图，称为空图，记为\(\varnothing\)。

用图形表示图时，如果每个顶点和每条边都指定了符号，则称这样的图为标定图，否则称为非标定图。

将有向图的各条有向边改成无向边后得到的无向图称作这个有向图的基图。

设\(G=\langle V,E\rangle\)为无向图。对于\(e=(u,v)\in E\)，称\(u,v\)为\(e\)的端点，称\(e\)与\(u,v\)关联；若\(u\neq v\)，则称\(e\)与\(u,v\)的关联次数分别为\(1\)，否则关联次数为\(2\)，并称\(e\)为环；对于\(w\in V\)满足\(w\neq u,v\)，称\(e\)与\(w\)的关联次数为\(0\)。没有边关联的点称为孤立点。若\(u,v\)间有至少一条边相连，则称这两个顶点相邻；若两条边至少有一个公共端点，则称这两条边相邻。没有边关联的点称为孤立点。

设\(D=\langle V,E\rangle\)为有向图。对于\(e=\langle u,v\rangle\in E\)，称\(u\)为\(e\)的始点，称\(v\)为\(e\)的终点，称\(e\)与\(u,v\)关联，始点和终点统称为端点。没有边关联的点称为孤立点。若\(u,v\)间有至少一条边相连，则称这两个顶点相邻；若一条边的终点是另一条边的始点，则称这两条边相邻。

设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)。对任何\(v\in V\)，称

\[N_G(v)=\{u:u\neq v\land (u,v)\in E\} \]

为\(v\)的邻域，称

\[\overline{N}_G(v)=N_G(v)\cup\{v\} \]

为\(v\)的闭邻域，称

\[I_G=\{(u,v):(u,v)\in E\} \]

为\(v\)的关联集。

设有向图向图\(D=\langle V,E\rangle\)。对任何\(v\in V\)，称

\[\varGamma_D^+(v)=\{u:u\neq v\land\langle v,u\rangle\in E\} \]

为\(v\)的后继元集，称

\[\varGamma_D^-(v)=\{u:u\neq v\land\langle u,v\rangle\in E\} \]

为\(v\)的先驱元集，称

\[N_D(v)=\varGamma_D^-(v)\cup\varGamma_D^+ \]

为\(v\)的邻域，称

\[\overline{N}_D(v)=N_D(v)\cup\{v\} \]

为\(v\)的闭邻域。

定义14.3 平行边、重数。含平行边的图称为多重图，既不含平行边也不含环的图称为简单图。

定义14.4 在无向图中，称一个顶点作为端点的次数为它的度(数)\(d\)。在有向图中，称一个顶点作为始点的次数为它的出度\(d^+\)，作为终点的次数为它的入度\(d^-\)，称\((d^-+d^+)\)为它的度数\(d\)。最大度\(\varDelta\)、最小度\(\delta\)、最大入度\(\varDelta^-\)、最小入度\(\delta^-\)、最大出度\(\varDelta^+\)、最小出度\(\delta^+\)。

称度数为\(1\)的顶点为悬挂顶点，与悬挂顶点关联的边为悬挂边。

定理14.1（无向图的握手定理）在任何无向图\(G=\langle V,E\rangle\)中，

\[\sum_{v\in V}d(v)=2|E|. \]

定理14.2（有向图的握手定理） 在任何有向图\(D=\langle V,E\rangle\)中，

\[\sum_{v\in V}d^-(v)=\sum_{v\in V}d^+(v)=|E|. \]

推论 任何图中，奇度顶点的个数是偶数。

设\(G=\langle V,E\rangle\)是\(n\)阶无向图，称\((d(v))_{v\in V}\)为\(G\)的度数列。对有向图可以类似地定义入度列和出度列。对于给定地非负整数列\(\vec{d}=(d_i)_{i=1}^n\)，若存在以\(V=\mathbb{N}\cap[1,n]\)为顶点集的\(n\)阶无向图，使\(\forall i\in\mathbb{N}\cap[1,n]\ (d(i)=d_i)\)，则称\(\vec{d}\)是可图化的；特别地，若得到的图可以是简单图，则称\(d\)是可简单图化的。

定理14.3 非负整数列\(\vec{d}\)可图化当且仅当\(\sum\vec{d}\)为偶数。

定理14.4 设\(G\)为\(n\)阶无向简单图，则\(\varDelta(G)\leq n-1\)。

定义14.5 设\(G_i=\langle V_i,E_i\rangle\ (i\in\{1,2\})\)是两张无向图。若存在双射\(f:V_1\to V_2\)使

\[\forall u,v\in V_1\ ((((u,v)\in E_1)\leftrightarrow((f(u),f(v))\in E_2))\land(\text{$(u,v)$与$(f(u),f(v))$重数相同})), \]

则称\(G_1\)与\(G_2\)同构，记作\(G_1\cong G_2\)。类似可定义有向图的同构。

定义14.6 \(n\in\mathbb{N}^*\)阶(无向)完全图\(K_n\)、\(n\)阶有向完全图。若\(n\)阶有向简单图\(D\)的基图为\(K_n\)，则称\(D\)为\(n\)阶竞赛图。

定义14.7 设\(G\)为\(n\)阶无向简单图。若\(\forall v\in V(G)\ d(v)=d\)，则称\(G\)为\(d\)-正则图。

定义14.8 设\(G=\langle V,E\rangle,\ G'=\langle V',E'\rangle\)同为无向图或同为有向图。若\(V'\subseteq V,\ E'\subseteq E\)，则称\(G'\)为\(G\)的子图，\(G\)为\(G'\)的母图。若\(V'\subsetneq V,\ E'\subsetneq E\)，则称\(G'\)为\(G\)的真子图。若\(V'=V\)，则称\(G'\)为\(G\)的生成子图。设\(G=\langle V,E\rangle,\ \varnothing\neq V'\subsetneq V,\ \varnothing\neq E'\subsetneq E\)，称以\(V'\)为顶点集，\(G\)中两个端点都在\(V'\)中的边组成的边集的图为\(G\)的\(V'\)导出的子图，记作\(G[V']\)；称以\(E'\)为边集，以\(E'\)中边关联的顶点为顶点集的图为\(G\)的\(E'\)导出的子图，记作\(G[E']\)。

定义14.9 设\(G=\langle V,E\rangle\)为无向简单图，令\(\overline{E}=\{(u,v)\in V\And V:u\neq v\land (u,v)\notin E\}\)，称\(\overline{G}=\langle V,\overline{E}\rangle\)为\(G\)的补图。若\(G\cong\overline{G}\)，则称\(G\)为自补图。

定义14.10 设\(G=\langle V,E\rangle\)为无向图。删除边、删除边的子集、删除顶点（及关联边）、删除顶点集的子集（及关联边）、收缩边、加新边。

14.2 回路与通路

定义14.11 设\(G\)为无向标定图。称\(G\)中顶点与边的交替序列\(W=v_0e_1v_1e_2\dots e_lv_l\)为一条从\(v_0\)到\(v_l\)的通路，其中\(\forall i\in\mathbb{N}\cap[1,l]\ (e_i=(v_{i-1},v_i))\)，\(v_0,v_l\)分别称为\(W\)的始点与终点，\(W\)中边的条数\(l\)称作它的长度。若通路\(W\)满足\(v_0=v_l\)，则称\(W\)为回路。若通路\(W\)的所有边互不相同，则称\(W\)为简单通路。若简单通路\(W\)还是回路，则称\(W\)为简单回路。若简单通路\(W\)还满足除可能\(v_0=v_l\)外所有点互不相同，则称\(W\)为初级通路/路径。若路径\(W\)还是回路，则称\(W\)为初级回路/圈。若通路\(W\)中有边重复出现，则称\(W\)为复杂通路。若复杂通路\(W\)还是回路，则称\(W\)为复杂回路。

在简单图中，可以只用顶点序列表示通路。

定理14.5 在\(n\)阶图\(G\)中，若\(u,v\)连通，则\(d(u,v)<n\)，即一定存在长度小于\(n\)的从\(u\)到\(v\)的路径。

定理14.6 在\(n\)阶图\(G\)中，若存在含\(v\)的回路，则必存在长度小于等于\(n\)的含\(v\)的回路。

推论 在\(n\)阶图\(G\)中，若存在含\(v\)的简单回路，则必存在长度小于等于\(n\)的含\(v\)的圈。

长度相同的圈都是同构的，在同构意义下给定长度的圈只有一个。在标定图中，只要两个圈的标记序列不同，就认为它们在定义意义下不同。

14.3 图的连通性

定义14.12 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)。若\(u,v\in V\)之间存在通路，则称\(u,v\)连通，记作\(u\sim v\)。规定\(\forall v\in V\ (v\sim v)\)。若\(\forall u,v\in V\ (u\sim v)\)，则称\(G\)为连通图，否则称为非连通图。

定义14.13 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)。对任何\(C\in V/\sim\)，称导出子图\(G[C]\)为\(G\)的一个连通分支，\(G\)的连通分支数记为\(p(G)\)。

在所有\(n\)阶无向图中，\(N_n\)的连通分支数是最大的，\(p(N_n)=n\)。

定义14.14 设\(u,v\)是无向图\(G\)中的两个顶点。若\(u\sim v\)，则称\(u,v\)之间长度最短的通路为\(u,v\)间的短程线，其长度\(d(u,v)\)称为\(u,v\)之间的距离，否则规定\(d(u,v)=\infty\)。

距离非负、对称且满足三角不等式

\[\forall u,v,w\in V(G)\ (d(u,v)+d(v,w)\geq d(u,w)). \]

定义14.15 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)。若存在\(V_{\mathrm{c}}\subsetneq V\)使得\(p(G\setminus V_{\mathrm{c}})>p(G)\)，且\(\forall V'\subsetneq V_{\mathrm{c}}\ (p(G\setminus V')=p(G))\)，则称\(V_{\mathrm{c}}\)是\(G\)的点割集。特别地，若\(V_{\mathrm{c}}=\{v_{\mathrm{c}}\}\)，则称\(v_{\mathrm{c}}\)为割点。

定义14.16 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)。若存在\(E_{\mathrm{c}}\subsetneq E\)使得\(p(G\setminus E_{\mathrm{c}})>p(G)\)，且\(\forall E'\subsetneq E_{\mathrm{c}}\ (p(G\setminus E')=p(G))\)，则称\(E_{\mathrm{c}}\)为\(G\)的(边)割集。特别地，若\(E_{\mathrm{c}}=\{e_{\mathrm{c}}\}\)，则称\(e_{\mathrm{c}}\)为割边/桥。

定义14.17 设无向图\(G\)为无向连通图且不是完全图，称\(G\)的最小点割集大小\(\kappa(G)\)为\(G\)的(点)连通度。规定完全图\(K_n\ (n\in\mathbb{N}^*)\)的点连通度为\(n-1\)，非连通图的点连通度为\(0\)。若\(\kappa(G)\geq k\in\mathbb{N}\)，则称\(G\)为\(k\)-连通图。

定义14.18 设\(G\)是无向连通图，称\(G\)的最小边割集大小\(\lambda(G)\)为\(G\)的边连通度。规定非连通图的边连通度为\(0\)。若\(\lambda(G)\geq l\in\mathbb{N}\)，则称\(G\)是\(l\)边-连通图。

定理14.7 对任何无向图有

\[\kappa\leq\lambda\leq\delta. \]

定义14.19 设\(D=\langle V,E\rangle\)是一个有向图，\(u,v\in V\)。若从\(u\)到\(v\)存在通路，则称\(u\)可达\(v\)，记作\(u\to v\)。规定\(\forall v\in V\ (v\to v)\)。若\(u\to v\)且\(v\to u\)，则称\(u,v\)相互可达，记作\(u\leftrightarrow v\)。

定义14.20 设\(D=\langle V,E\rangle\)是一个有向图，\(u,v\in V\)。若\(u\to v\)，则称从\(u\)到\(v\)长度最短的通路为从\(u\)到\(v\)的短程线，称其长度\(d\langle u,v\rangle\)为从\(u\)到\(v\)的距离。

定义14.21 若有向图\(D=\langle V,E\rangle\)的基图连通，则称\(D\)为(弱)连通图；若\(\forall u,v\in V\ ((u\to v)\vee(v\to u))\)，则称\(D\)为单向连通图；若\(\forall u,v\in V\ (u\leftrightarrow v)\)，则称\(D\)为强连通图。

定理14.8 有向图\(D=\langle V,E\rangle\)强连通当且仅当\(D\)中存在经过每个顶点至少一次的回路。

定理14.9 有向图\(D=\langle V,E\rangle\)单向连通当且仅当\(D\)中存在经过每个顶点至少一次的通路。

定义14.22 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)。若能将\(V\)划分成\(\{V_1,V_2\}\)，使得\(E\subseteq V_1\And V_2\)，则称\(G\)为二部/分/偶图，称\(V_1,V_2\)为互补顶点子集。常将二分图\(G\)记作\(\langle V_1,V_2,E\rangle\)。如果二分图\(G\)是简单图，且\(E=V_1\And V_2\)，则称\(G\)为完全二分图，记为\(K_{|V_1|,|V_2|}\)。

定理14.10（二分图判定定理） \(n\geq 2\)阶无向图是二分图当且仅当图中无奇圈。

14.4 图的矩阵表示

定义14.23 无向图\(G=\langle V,E\rangle\)，其中\(V=\{v_1,\dots,v_n\},\ E=\{e_1,\dots,e_m\}\)。记\(m_{i,j}\ (i,j\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n,\ j\leq m)\)为顶点\(v_i\)与边\(e_j\)的关联次数，称\(M(G)=((m_{i,j})_{j=1}^m)_{i=1}^n\)为\(G\)的关联矩阵。

定义14.24 设有向图\(D=\langle V,E\rangle\)中无环，其中\(V=\{v_1,\dots,v_n\},\ E=\{e_1,\dots,e_m\}\)。记

\[m_{i,j}= \begin{cases} 1 & (\text{$v_i$为$e_j$的始点})\\ 0 & (\text{$v_i$与$e_j$不关联})\\ -1 & (\text{$v_i$为$e_j$的终点}) \end{cases}\ (i,j\in\mathbb{N}^*,\ i\leq n,\ j\leq m), \]

称矩阵\(M(D)=((m_{i,j})_{j=1}^m)_{i=1}^n\)为\(D\)的关联矩阵。

定义14.25 设有向图\(D=\langle V,E\rangle\)，其中\(V=\{v_1,\dots,v_n\}\)。令\(a_{i,j}\)为\(v_i\)邻接到\(v_j\)的边的条数，称\(A(D)=((a_{i,j})_{j=1}^n)_{i=1}^n\)为\(D\)的邻接矩阵。

定理14.11 设有向图\(D=\langle V,E\rangle,\ V=\{v_1,\dots,v_n\},\ A=A(D)\)。设\(A^l=((a^{(l)}_{i,j})_{j=1}^n)_{i=1}^n\ (l\in\mathbb{N})\)，则\(a^{(l)}_{i,j}\ (i,j\in\mathbb{N},\ i,j\leq n)\)为从\(v_i\)到\(v_j\)的长为\(l\)的通路数。

定义14.26 设有向图\(D=\langle V,E\rangle,\ V=\{v_1,\dots,v_n\}\)。令

\[p_{i,j}=(v_i\to v_j), \]

称\(P(D)=((p_{i,j})_{j=1}^n)_{i=1}^n\)为\(D\)的可达矩阵。

14.5 图的运算

定义14.27 设图\(G_i=\langle V_i,E_i\rangle\ (i\in\{1,2\})\)。若\(V_1\cap V_2=\varnothing\)，则称\(G_1,G_2\)不交；若\(E_1\cap E_2=\varnothing\)，则称\(G_1,G_2\)边不交/重。

定义14.28 设\(G_i=\langle V_i,E_i\rangle\ (i\in\{1,2\})\)为不含孤立点的两个图，且同为无向图或有向图。

• 称\(G_1\cup G_2=\langle V_1\cup V_2,E_1\cup E_2\rangle\)为\(G_1\)与\(G_2\)的并图。
• 称\(G_1\setminus G-2=G_1[E_1\setminus E_2]\)为\(G_1\)与\(G_2\)的差图。
• 称\(G_1\cap G_2=(G_1\cup G_2)[E_1\cap E_2]\)为\(G_1\)与\(G_2\)的交图。
• 称\(G_1\oplus G_2=(G_1\cup G_2)[E_1\oplus E_2]\)为\(G_1\)与\(G_2\)的环和。

第15章 Euler图与Hamilton图

15.1 Euler图

定义14.1 通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称作Euler通路。是回路的Euler通路称作Euler回路。具有Euler回路的图称作Euler图，具有Euler通路而无Euler回路的图称作半Euler图。规定平凡图是Euler图。

定理15.1（无向Euler图判定定理） 无向图\(G\)是Euler图当且仅当\(G\)连通且各顶点度数均为偶数。

定理15.2（无向半Euler图判定定理） 无向图\(G\)是半Euler图当且仅当\(G\)连通且恰有两个奇度顶点。

定理15.3（有向Euler图判定定理） 有向图\(D\)是Euler图当且仅当\(D\)强连通且各顶点的入度等于出度。

定理15.4（有向半Euler图判定定理） 有向图\(D\)是半Euler图当且仅当\(D\)单向连通且恰有两个奇度顶点，其中一个出度比入度大\(1\)而另一个入度比出度大\(1\)，其余顶点的入度等于出度。

定理15.5（Euler回路构造定理） \(G\)是非平凡的Euler图当且仅当\(G\)连通且是若干边不重的圈的并。

Fleury算法 任选一点出发，每次选择当前点的一条邻边走到下一个点。除非别无选择，否则选择不是桥的边。

15.2 Hamilton图

定义15.2 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称作Hamilton通路。是回路的Hamilton通路称作Hamilton回路。具有Hamilton回路的图称作Hamilton图，具有Hamilton通路而无Hamilton回路的图称作半Hamilton图。规定平凡图是Hamilton图。

定理15.6（Hamilton图的必要条件） 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)是Hamilton图，则

\[\forall V'\subsetneq V\ ((V'\neq\varnothing)\rightarrow(p(G\setminus V')\leq|V'|)). \]

推论（半Hamilton图的必要条件） 设无向图\(G=\langle V,E\rangle\)是半Hamilton图，则

\[\forall V'\subsetneq V\ ((V'\neq\varnothing)\rightarrow(p(G\setminus V')\leq|V'|+1)). \]

推论 若图中有割点或桥，则该图必不是Hamilton图。

推论（二分图是Hamilton图的必要条件） 设二分图\(G=\langle V_1,V_2,E\rangle\)是Hamilton图，则

\[|V_1|=|V_2|. \]

推论（二分图是半Hamilton图的必要条件） 设二分图\(G=\langle V_1,V_2,E\rangle\)是半Hamilton图，\(2\leq|V_1|\leq|V_2|\)，则

\[|V_2|=|V_1|+1. \]

定理15.7（无向简单图是半Hamilton图的充分条件） 设\(G=\langle V,E\rangle\)是\(n\)阶无向简单图。若

\[\forall u,v\in V\ (((u,v)\notin E)\rightarrow(d(u)+d(v)\geq n-1)), \]

则\(G\)中必存在Hamilton通路。

推论（Ore定理）（无向简单图是Hamilton图的充分条件） 设\(G=\langle V,E\rangle\)是\(n\geq3\)阶无向简单图。若

\[\forall u,v\in V\ (((u,v)\notin E)\rightarrow(d(u)+d(v)\geq n)), \]

则\(G\)中必存在Hamilton回路。

定理15.9 \(n\geq2\)阶竞赛图必为半Hamilton图。

15.3 最短路问题、中国邮递员问题与旅行商问题

第16章 树

16.1 无向树及其性质

定义16.1 连通且无回路的无向图称作(无向)树。每个连通分支都是树的无向图称作森林。平凡图称作平凡树。无向树中，悬挂顶点称作树叶，度数大于等于\(2\)的顶点称作分支点。

定理16.1 设\(G=\langle V,E\rangle\)是无向图，则下列各命题等价：

• \(G\)是树。
• \(G\)中任意两顶点间存在唯一的路径。
• \(G\)中没有回路，且\(|E|=|V|-1\)。
• \(G\)连通且\(|E|=|V|-1\)。
• \(G\)连通且任何边都是桥。
• \(G\)中没有回路，但在任何两个不同的顶点间加一条新边得到的图中有唯一的圈且该圈包含新边。

定理16.2 设\(T\)是非平凡的无向树，则\(T\)中至少有两片树叶。

16.2 生成树

16.3 根树及其应用

第17章 平面图

17.1 平面图的基本概念

定义17.1 如果能将无向图\(G\)画在平面上使得除顶点外无边相交，则称\(G\)为(可)平面图。画出的无边相交的图称作\(G\)的平面嵌入，无平面嵌入的图称作非平面图。

定理17.1 平面图的子图都是平面图，非平面图的母图都是非平面图。

定理17.2 平面图加平行边或环后还是平面图。

定义17.2 给定平面图\(G\)的平面嵌入，\(G\)的边将平面划分成若干区域，每个区域都称为\(G\)的一个面。其中有一个面的面积无限，称为无限/外部面；其余面的面积有限，称为有限/内部面。包围面\(f\)的所有边组成的回路组称为该面的边界，边界的长度称作该面的次数\(\deg f\)。

定理17.3 平面图所有面的次数之和等于边数的两倍。

定义17.3 设\(G=\langle V,E\rangle\)为简单平面图。若在\(G\)任意不相邻的两顶点间加一条边，所得的图为非平面图，则称\(G\)为极大平面图。

定理17.4 极大平面图必连通，且阶数大于等于\(3\)的极大平面图没有割点或桥。

定理17.5 设\(G\)是\(n\geq3\)阶简单连通平面图，则\(G\)为极大平面图当且仅当\(G\)的每个面的次数均为\(3\)。

定义17.4 若在非平面图\(G\)中任意删除一条边，所得的图为平面图，则称\(G\)为极小非平面图。

Euler公式

定理17.6（Euler公式） 对任何连通平面图\(G\)，有

\[|V|-|E|+|F|=2. \]

定理17.7（扩展Euler公式） 对于任何平面图\(G\)，有

\[|V|-|E|+|F|=p+1. \]

定理17.8 设\(G\)是连通的平面图，且每个面的次数至少为\(l\geq3\)，则\(G\)的边数\(m\)与顶点数\(n\)满足

\[m\leq\frac{n-2}{l-2}l. \]

推论 \(K_5,K_{3,3}\)都是非平面图。

定理17.9 设平面图\(G\)有\(p\)个连通分支，各面的次数至少为\(l\geq3\)，则\(G\)的边数\(m\)与顶点数\(n\)满足

\[m\leq\frac{n-p-1}{l-2}l. \]

定理 \(n\geq3\)阶\(m\)条边的极大平面图必有

\[m=3(n-2). \]

推论 \(n\geq3\)阶\(m\)条边的简单平面图必有

\[m\leq3(n-2). \]

定理17.11 设\(G\)是简单平面图，则

\[\delta(G)\leq5. \]

平面图的判断

定义17.5 将\(G\)中一条边替换为一个新顶点并将新顶点与原边的端点分别相连的操作称为插入\(2\)度顶点，其逆操作称为消去\(2\)度顶点。若两张图通过有限次插入或消去\(2\)度顶点后同构，则称这两张图同胚。

定理17.12（Kuratowski定理1） 图\(G\)是平面图当且仅当\(G\)中既不含与\(K_5\)同胚的子图，也不含与\(K_{3,3}\)同胚的子图。

定理17.13（Kuratowski定理2） 图\(G\)是平面图当且仅当\(G\)中既不含可以收缩到\(K_5\)的子图，也不含可以收缩到\(K_{3,3}\)的子图。

平面图的对偶图

定义17.6 设\(G\)是一个平面图的平面嵌入。构造图\(G^*\)：在\(G\)的每一个面\(f_i\)中放置一个\(G^*\)的顶点\(v^*_i\)。对\(G\)的每一条边\(e_i\)，设它是面\(f_j,f_k\)的公共边界，则作\(G^*\)的边\(e^*_i=(v^*_j,v^*_k)\)与\(e\)相交而不与其他任何边相交。称\(G^*\)为\(G\)的对偶图。

设\(G^*\)是\(G\)的对偶图，则其具有以下性质：

• \(G^*\)是平面嵌入。
• \(G^*\)连通。
• \(G\)中的环在\(G^*\)中的对应边为桥，\(G^*\)中的桥在\(G\)中的对应边为环。
• 同一个平面图的不同平面嵌入的对偶图不一定同构。

定理17.14 连通图及其对偶图满足

\[|V^*|=|F|,\ |E^*|=|E|,\ |F^*|=|V|,\ d_{G^*}(v^*)=\deg f. \]

定理17.15 有\(p\)个连通分支的图及其对偶图满足

\[|V^*|=|F|,\ |E^*|=|E|,\ |F^*|=|V|-(p-1),\ d_{G^*}(v^*)=\deg f. \]

定义17.7 设\(G^*\)是平面图\(G\)的对偶图。若\(G^*\cong G\)，则称\(G\)为自对偶图。

在\(n-1\geq3\)边形\(C_{n-1}\)内放置一个顶点，连接该顶点与\(C_{n-1}\)所有顶点，所得的\(n\)阶简单图\(W_n\)称作\(n\)阶轮图。轮图都是自对偶图。

第18章 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色

18.1 支配集、点覆盖集与点独立集

边覆盖集与匹配

18.3 二分图中的匹配

18.4 点着色

定义18.8 设无向图\(G\)无自环，对其每个顶点涂一种颜色，使相邻的顶点涂不同颜色，称为\(G\)的一种(点)着色。若能用\(c\)种颜色给\(G\)的顶点着色，则称\(G\)为\(c\)-可着色的，若\(G\)是\(\chi\)-可着色的但不是\((\chi-1)\)-可着色的，则称\(\chi\)为\(G\)的色数。

色数的性质：

• \[\chi(G)=1\iff\exists n\in\mathbb{N}^*\ (G=N_n). \]

• \[\forall n\in\mathbb{N}^*\ (\chi(K_n)=n). \]

• 偶圈色数为\(2\)，奇圈色数为\(3\)；奇阶轮图的色数为\(3\)，偶阶轮图的色数为\(4\)。

• 若\(G\)至少含一条边，则\(\chi(G)=2\)当且仅当\(G\)为二分图。

定理18.7 任意无自环图\(G\)均有

\[\chi(G)\leq\varDelta(G)+1. \]

定理18.8（Brooks定理） 若无自环图\(G\)不是完全图也不是奇圈，则

\[\chi(G)\leq\varDelta(G). \]

18.5 地面着色与平面图的点着色

连通无桥平面图的平面嵌入及其所有面称作地图，地图的面称作国家。

定义18.9 对地图\(M\)的每个国家涂上一种颜色，使相邻的国家涂不同的颜色，称作对地图的面着色。若能够用\(c\)种颜色给\(M\)的面着色，则称\(M\)是\(c\)-可面着色的。若\(M\)是\(\chi^*\)-可面着色的，但不是\((\chi^*-1)\)-可面着色的，则称\(\chi^*\)为\(M\)的面色数。

地图是无桥的平面图，其对偶图无圈。可以把地图的面着色转化为其对偶图的点着色。

定理18.9 地图\(M\)是\(c\)-可面着色的当且仅当其对偶图\(M^*\)是\(c\)-可点着色的。

定理18.10（四色定理） 任何平面图都是\(4\)-可着色的。

18.6 边着色

定义18.10 对图\(G\)的每条边着一种颜色，使相邻的边着不同的颜色，称作对\(G\)的边着色。若能用\(c\)种颜色对\(G\)的边着色，则称\(G\)为\(c\)-可边着色的，若\(G\)为\(\chi'\)-可边着色的，但不是\((\chi'-1)\)-可边着色的，则称\(\chi'\)为\(G\)的边色数。

定理18.11（Vizing定理） 简单图的边色数只可能取\(\varDelta\)或\(\varDelta+1\)。

由此可知非平凡偶圈的边色数为\(2\)，非平凡奇圈的边色数为\(3\)，\(\chi'(W_n)=n-1\ (n\in\mathbb{N},\ n\geq4)\)。\(\chi'(K_n)=\begin{cases}n & (n\bmod2=1)\\ n-1 & (n\bmod2=0)\end{cases}\ (n\in\mathbb{N}^*,\ n\geq2)\)。

定理18.12 二分图的边色数为\(\varDelta\)。