大学物理-电磁学

大学物理-电磁学

目录

• 大学物理-电磁学
  • 静电场
    • Coulomb定律
      • 电荷
      • Coulomb定律
      • 电场力的叠加原理
    • 电场 电场强度
      • 电场
      • 电场强度
      • 电场强度的计算
        • 点电荷
        • 点电荷系
        • 电偶极子
        • 电荷连续分布的带电体
          • 均匀带电细棒
          • 均匀带电细圆环
          • 均匀带电薄圆盘
    • 静电场的Gauss定理
      • 电场线
      • 电场强度通量
      • Gauss定理
      • 利用Gauss定理求静电场的分布
        • 均匀带电球面
        • 均匀带电球体
        • 无限长带电直线
        • 无限长带电圆柱面
        • 无限大带电平面
    • 静电场的环路定理 电势
      • 静电场的环路定理
      • 静电势能
      • 电势和电势差
      • 电势的计算
      • 等势面
      • 电势梯度
    • 静电场中的电偶极子
      • 电偶极子在外电场中所受的力
      • 电偶极子在外电场中的电势
  • 静电场中的导体和电介质
    • 静电场中的导体
      • 导体的静电平衡条件
      • 静电平衡时导体上电荷的分布
      • 静电屏蔽
      • 有导体存在时静电场量的计算
      • 静电技术在实际中的应用
    • 静电场中的电介质
      • 电介质对电场的影响
      • 电介质的极化
      • 电极化强度
      • 有介质时的Gauss定理
      • 有电介质时Gauss定理的应用
      • 静电场的边界条件
    • 电容 电容器
      • 孤立导体的电容
      • 电容器的电容
      • 电容器的连接
      • 电容的计算及应用
        • 平行板电容器
        • 圆柱形电容器
        • 球形电容器
    • 静电场的能量
      • 电荷系的静电能
      • 电容器的能量
      • 静电场的能量 能量密度
  • 恒定磁场
    • 恒定电流
      • 电流 电流密度
      • Ohm定律的微分形式
      • 电源和电动势
    • 磁场 磁感应强度
      • 磁的基本现象
      • 磁场与磁感应强度
      • 磁感应线
    • Biot-Savart定律
      • Biot-Savart定律
      • Biot-Savart定律的应用
        • 载流直导线的磁场
        • 载流圆线圈轴线上的磁场
        • 磁矩
        • 载流直螺线管轴线上的磁场
      • 运动电荷产生的磁场
    • 磁场的Gauss定理和Ampère环路定理
      • 磁通量 磁场的Gauss定理
      • Ampère环路定理
      • Ampère环路定理的应用
        • 无限长均匀载流圆柱面的磁场分布
        • 电流在截面上均匀分布的无限长圆柱体的磁场分布
        • 无限大平面电流的磁场分布
        • 无限长均匀密绕载流直螺线管的磁场分布
        • 均匀密绕载流螺绕环的磁场分布
    • 磁场对载流导线的作用
      • Ampère力
      • 磁场对载流线圈的作用
  • 磁场对运动电荷的作用
    • • Lorentz力
      • 带电粒子在磁场中的运动
      • 应用实例
        • 速度选择器
        • Thomson实验
        • 质谱仪
        • 回旋加速器
        • 霍尔效应
    • 磁场中的磁介质
    • 磁介质对磁场的影响
      • 磁介质的极化
      • 磁化强度矢量\(\vec{M}\)与磁化电流
      • 有介质时的Ampère环路定理 磁场强度矢量\(\vec{H}\)
      • 铁磁质
  • 电磁感应和电磁场
    • Faraday电磁感应定律
      • 电磁感应现象
      • Faraday电磁感应定律
      • 楞次定律
    • 动生电动势和感生电动势
      • 动生电动势
      • 感生电动势
      • 感生电场
      • 涡电流及电磁阻尼
    • 自感与互感
      • 自感
      • 互感
    • 磁场的能量和能量密度
    • Maxwell方程组 电磁波
      • 位移电流
      • Ampère环路定理的普遍表达式
      • Maxwell方程组
      • 电磁波
    • 超导
      • 超导体的物理特性
      • BCS理论简介
      • Josephson效应
      • 超导在技术中的应用

静电场

Coulomb定律

电荷

• 电荷的基本性质：
  • 自然界中只有两种电荷，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
  • 电荷的量子性。
  • 电荷的相对论不变性：再不同的参考系中观察，同一带电物体的电荷量不变。
  • 电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系统内，正、负电荷量的代数和在任何物理过程中总是保持不变。

Coulomb定律

相对于惯性系观察，真空中两个静止点电荷之间的相互作用力（Coulomb力）的大小与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。

\[\vec{F}_{1,2}=k\frac{q_1q_2}{r_{1,2}^2}\hat{r}_{1,2}. \]

在国际单位制下，静电力常量

\[k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \]

其中\(\varepsilon_0\)为真空介电常数。

只要施力电荷静止（即电场不随时间变化），受力电荷即使运动，其受到的Coulomb力仍然符合上述表达式。

电场力的叠加原理

电场 电场强度

电场

电场强度

• 试验电荷需要满足的两个要求：
  • 电荷量充分小，引入电场时不会显著改变原来电场的分布。
  • 几何线度充分小，可以看成点电荷。

定义电场强度

\[\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}, \]

其中\(\vec{F}\)是试验电荷所受Coulomb力，\(q\)是试验电荷的电荷量。该矢量与试验电荷的大小、正负均无关。

电场强度的计算

点电荷

若真空中有一个静止的点电荷\(q_0\)，则相对该点电荷\(\vec{r}\)处的场强

\[\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}. \]

点电荷系

电偶极子

真空中有一对等量异号点电荷\(\pm q\)，从\(-q\)指向\(+q\)的有向线段为\(\vec{l}\)，定义电偶极矩

\[\vec{p}=q\vec{l}. \]

电荷连续分布的带电体

均匀带电细棒

在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(x=r\)上有一电荷线密度为常量\(\lambda\)的带电细棒，下端、上端的角位置分别为\(\theta_1,\theta_2\)，则原点处的场强为

\[\vec{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0r}(-\sin\theta,\cos\theta)|_{\theta_1}^{\theta_2}. \]

均匀带电细圆环

设细圆环的电荷线密度为常量\(\lambda\)，半径为\(R\)，则轴线上离圆心\(\vec{r}\)处的电场强度

\[\vec{E}=\frac{R\lambda}{2\varepsilon_0(r^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\vec{r}. \]

特别地，当\(r\gg R\)时，近似有

\[\vec{E}\approx\frac{R\lambda}{2\varepsilon_0r^2}\hat{r}. \]

均匀带电薄圆盘

设薄圆盘的电荷面密度为常量\(\sigma\)，半径为\(R\)，则轴线上离圆心\(\vec{r}\)处的电场强度

\[\vec{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)\hat{r}. \]

如果取一侧为正方向，则

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\mathop{\mathrm{sgn}}r-\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right) \]

静电场的Gauss定理

电场线

电场强度通量

设面元\(\mathrm{d}\vec{S}\)处的电场强度为\(\vec{E}\)，则该面元的电场强度通量定义为

\[\mathrm{d}\varPhi_{\mathrm{e}}=\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

Gauss定理

设区域\(V\subseteq\mathbb{R}^3\)中电荷体密度为\(\rho\)，则

\[\oint_{\partial V}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\ \mathrm{d}V, \]

即静电场是有源场。

利用Gauss定理求静电场的分布

均匀带电球面

球面内电场为\(\vec{0}\)，球面外的电场分布等同于将球面替换为球心处等电荷量的点电荷的电场分布。

均匀带电球体

无限长带电直线

无限长带电圆柱面

无限大带电平面

设无限大平面的电荷面密度为常量\(\sigma\)，则两侧的场强大小均为

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}. \]

静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理

设\(l\subseteq\mathbb{R}^3\)是一条闭合曲线，则

\[\oint_l\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=0, \]

即静电场是无旋场。

静电势能

设受力电荷的电荷量为\(q\)，规定电势能零点\(O\)，则空间中任何一点\(P\in\mathbb{R}^3\)处的电势能

\[E_\mathrm{p}=-\int_{\overset{\frown}{OP}}q\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}, \]

其中\(\overset{\frown}{OP}\)是任意一条以\(O\)为起点、以\(P\)为终点的曲线。

电势和电势差

定义电势

\[\varphi=\frac{E_{\mathrm{p}}}{q}, \]

于是

\[\varphi=-\int_{\overset{\frown}{OP}}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}. \]

在静电场中，任意两点间的电势差与电势零点的选择无关。

电势的计算

等势面

等势面与电场线处处正交。等势面越密集，电场强度越大。

电势梯度

\[\vec{E}=-\nabla\varphi. \]

静电场中的电偶极子

电偶极子在外电场中所受的力

电偶极矩为\(\vec{p}\)的电偶极子在匀强电场\(\vec{E}\)中相对于其中心点所受的力矩

\[\vec{M}=\vec{p}\times\vec{E}. \]

电偶极子在外电场中的电势

无论如何选取电势零点，电偶极矩为\(\vec{p}\)的电偶极子在匀强电场\(\vec{E}\)中的电势能为

\[E_{\mathrm{p}}=-\vec{p}\cdot\vec{E}. \]

静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

导体的静电平衡条件

仅考虑各向同性的均匀金属导体。

• 以下各条件都等价：
  • 导体达到静电平衡状态。
  • 导体内部和表面都没有Diane定向运动。
  • 导体内部电场均为\(\vec{0}\)，外部紧邻表面处的场强垂直于表面。
  • 导体为等势体，即导体内和导体表面各处电势均相等。

静电平衡时导体上电荷的分布

• 静电平衡的导体上电荷分布的规律：

  • 有空腔的导体的净电荷和感应电荷只能分布在内、外表面上，实心处没有净电荷，且内表面所带电荷与腔内带电体的电荷量的代数和为\(0\)。
  • 孤立导体静电平衡时，其表面各处的电荷面密度与曲率（代数值）正相关。

• 静电平衡的导体表面附近场强分布的规律：

  • 设导体达到静电平衡，其表面某处的电荷面密度为\(\sigma\)，表面在该处的法线方向为\(\vec{n}\)，则导体外紧邻该处的场强为
    \[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n}. \]

静电屏蔽

对于孤立带空腔导体，导体外表面电荷产生的电场和外电场都不影响空腔内电场分布，但导体外的电场分布会受空腔内带电体的影响。腔内总电荷量一定时，导体对外部产生的电场与腔内电荷分布无关，因为内表面电荷始终将腔内电荷抵消，外表面电荷量始终等于腔内总电荷量。

接地带空腔导体可以彻底隔离空腔内和导体外电场，使之互不影响。

有导体存在时静电场量的计算

• 注意事项：
  1. 通常规定大地为电势零点，一般与无穷远处电势为\(0\)等价。
  2. 导体接地时电势恒为\(0\)，但其表面的电荷不一定为\(0\)。
  3. 电场中任一点的电势是所有电荷共同贡献的结果。导体接地时，其电势为\(0\)也是导体表面和外界所有电荷共同贡献的结果。

静电技术在实际中的应用

静电场中的电介质

电介质对电场的影响

电介质的极化

外加电场时，电介质内部任意区域内净电荷量仍为\(0\)，但表面会出现束缚电荷，称为电介质被极化。

电极化强度

定义电极化强度为单位体积内分子电偶极矩的矢量和，即

\[\vec{P}=\frac{\mathrm{d}(\sum\vec{p})}{\mathrm{d}V}. \]

设每个分子的感生电矩都为\(\vec{p}\)，分子数的体密度为\(\rho\)，则

\[\vec{P}=n\vec{p}. \]

若电介质中各点的电极化强度都相等，则称该电介质的极化是均匀的，否则称为不均匀的。

电介质中一点的总电场\(\vec{E}\)由外电场\(\vec{E}_0\)和束缚电荷激发的电场\(\vec{E}'\)叠加而成，即

\[\vec{E}=\vec{E}_0+\vec{E}'. \]

在各向同性的电介质中，当\(\vec{E}\)不太强时，\(\vec{P}\)正比于\(\vec{E}\)，即

\[\vec{P}=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_0\vec{E}, \]

其中系数\(\chi_{\mathrm{e}}\)称为电极化率。引入辅助量

\[\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}, \]

称为电位移矢量。代入\(\vec{P}=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_0\vec{E}\)得

\[\vec{D}=(\chi_{\mathrm{e}}+1)\varepsilon_0\vec{E}, \]

于是可以定义相对介电常数

\[\varepsilon_{\mathrm{r}}=\chi_{\mathrm{e}}+1 \]

和介电常数

\[\varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0, \]

于是电位移矢量又可以表示为

\[\vec{D}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0\vec{E}, \]

电极化强度又可以表示为

\[\vec{P}=(\varepsilon_{\mathrm{r}}-1)\varepsilon_0\vec{E}. \]

由电荷守恒定律可知，任取电介质内的区域\(V\)，有

\[\oint_{\partial V}\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\int_V\rho'\ \mathrm{d}V, \]

其中\(\rho'\)是束缚电荷的体密度。对于各向同性的均匀电介质，其内部束缚电荷体密度处处为\(0\)，束缚电荷仅出现在其表面；非均匀或各向异性的电介质内部可能有束缚电荷。

由此可以导出电介质表面的束缚电荷面密度

\[\sigma'=\vec{P}\cdot\vec{n}, \]

其中\(\vec{n}\)是表面的外法线方向。

有介质时的Gauss定理

设区域\(V\subseteq\mathbb{R}^3\)中自由电荷体密度为\(\rho\)，则

\[\oint_{\partial V}\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_V\rho\ \mathrm{d}V. \]

有电介质时Gauss定理的应用

静电场的边界条件

由静电场的环路定理可推出电介质分界面处电场强度的切向分量连续，由电位移矢量的Gauss定理可推出电介质分界面处电位移矢量的法向分量连续。由此可得\(\vec{D}\)的折射定律

\[\frac{\tan i}{\tan r}=\frac{\varepsilon_i}{\varepsilon_r}. \]

电容 电容器

孤立导体的电容

孤立导体在静电平衡时是等势体，无论其电荷分布如何，当其形状、大小一定时，其相对于无穷远处的电势\(\varphi\)正比于其总电荷量\(q\)，故定义电容为该比例系数，即

\[C=\frac{q}{\varphi}. \]

电容器的电容

由导体壳和其腔内以电介质隔开的另一个导体组成的系统称为电容器，组成电容器的两个导体称为电容器的极板，内导体的表面和导体壳的内表面是电容器的两个极板面。电容器带电时，两个极板面分别带有等量异号电荷\(\pm q\)，它们之间的电势差\(U\)也成为电容器的电压。因为\(q\)总与\(U\)成正比且比例系数对于给定的电容器是常数，故定义其电容

\[C=\frac{q}{U}. \]

理想电容器的电容只与电容器的几何因素有关。

实际中对于电容器的屏蔽性要求并没有理想的那样苛刻，此时电容器边缘存在电场泄露，称为边缘效应。边缘效应会导致\(q\)并非严格正比于\(U\)。

电容器的连接

• 电容器的连接
  • 并联电容器的等效电容等于各组分电容之和。
  • 串联电容器的等效电容的倒数等于各组分电容倒数之和。

电容的计算及应用

平行板电容器

介电常数为\(\varepsilon\)、极板间距为\(d\)、极板正对面积为\(S\)的理想平行板电容器（忽略边缘效应）的电容为

\[C=\frac{\varepsilon S}{d}. \]

圆柱形电容器

半径分别为\(R_1,R_2\)、长为\(l\)的导体圆柱壁套在一起，中间填充介电常数为\(\varepsilon\)的电介质，形成一个圆柱形电容器。忽略边缘效应时，其电容为

\[C=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\frac{R_2}{R_1}}. \]

球形电容器

半径分别为\(R_1,R_2\)的导体球面同心地套在一起，中间填充介电常数为\(\varepsilon\)的电介质，形成一个球形电容器，其电容为

\[C=\frac{4\pi\varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}. \]

静电场的能量

电荷系的静电能

\[E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}\int_q\varphi\ \mathrm{d}q. \]

电容器的能量

\[E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}CU^2. \]

静电场的能量 能量密度

在电介质中，静电场的能量密度

\[\rho_{E_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}. \]

恒定磁场

恒定电流

电流 电流密度

电流是由大量带电粒子定向移动形成的，这些形成电流的带电粒子被称为载流子。

描述电流强弱的物理量是电流(强度)，定义为单位时间内通过导体某一截面的电荷量，即

\[I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}. \]

为了细致描述电流在导体中各点的分布（特别是大块导体中电流不均匀的情况），定义电流密度

\[\vec{J}=\rho_{q}\vec{v}_{\mathrm{D}}, \]

其中\(\rho_q\)是载流子的电荷体密度，\(\vec{v}_{\mathrm{D}}\)是载流子移动的平均速度，称为漂流速度。于是

\[\mathrm{d}I=\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

根据电荷守恒定律可得电流的连续性方程

\[\oint_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\frac{\mathrm{d}q_{\mathrm{I}}}{\mathrm{d}t}, \]

其中\(q_{\mathrm{I}}\)是闭合曲面\(S\)内的总电荷量。恒定电流对任意闭合曲面\(S\)有

\[\oint_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0. \]

Ohm定律的微分形式

定义电导率为电阻率的倒数，即

\[\sigma=\frac{1}{\rho}, \]

于是对于各向同性的导体，有Ohm定律\(I=\frac{U}{R}\)的微分形式

\[\vec{J}=\sigma\vec{E}. \]

电源和电动势

迫使电荷逆着电场力方向运动的其他类型力\(\vec{F}_{\mathrm{N}}\)统称为非静电力。类比静电力，定义非静电场场强

\[\vec{E}_{\mathrm{N}}=\frac{\vec{F}_{\mathrm{N}}}{q}. \]

非静电力把单位正电荷经电源内部从负极移动到正极所做的功称为电源电动势，即

\[\mathscr{E}=\int_-^+\vec{E}_{\mathrm{N}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}, \]

若非静电力存在于整个回路\(l\)，则

\[\mathscr{E}=\oint_l\vec{E}_{\mathrm{N}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}. \]

电动势是反映非静电力做功本领的物理量，完全取决于电源本身的性质，而与外电路的性质无关。电动势是标量，但为了方便起见，常把电源内部电势升高的方向（从负极到正极）规定为电动势的方向。

磁场 磁感应强度

磁的基本现象

所有已知的磁铁都有两个磁极。将磁铁中指向地理北方的那一极称为北极，将磁铁中指向地理南方的那一极称为南极。因此地球磁场南极在地理北极附近，磁场北极在地理南极附近。地球的磁场分布与条形磁铁类似，条形磁铁与地轴间的夹角称为磁偏角。

磁场与磁感应强度

定义某处磁场的方向为小磁针在该处北极所指的方向，定义磁感应强度的方向为磁场的方向。

在磁场中运动的电荷会受到力的作用，称为磁力。实验发现，对于同一处磁场，运动电荷受的力正比于其电荷量、速度和速度方向与磁场方向所成角的正弦值的乘积，将此比例系数定义为磁场的磁感应强度的大小。于是有磁力

\[\vec{F}_{\mathrm{m}}=q\vec{v}\times\vec{B}, \]

由此式表示的磁力也称为Lorentz力。

磁感应线

Biot-Savart定律

Biot-Savart定律

对于一段任意形状的载流导线，设其电流为\(I\)，在其上任取一段线元矢量\(\mathrm{d}\vec{l}\)，称\(I\mathrm{d}\vec{l}\)为电流元。

Biot-Savart定律：真空中电流元\(I\mathrm{d}\vec{l}\)对相对于它\(\vec{r}\)处产生的磁感应强度

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}, \]

其中常数\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}\)称为真空磁导率。

Biot-Savart定律的应用

载流直导线的磁场

设空间直角坐标系\(Oxyz\)中，平面\(xOy\)内，直线\(x=r\)处有一段的直导线，其两端的角位置分别为\(\theta_1,\theta_2\)，从\(\theta_1\)处流向\(\theta_2\)处的电流强度恒为\(I\)。于是\(O\)处的磁感应强度为

\[\vec{B}=\left(0,0,\frac{I\mu_0}{4\pi r}\sin\theta|^{\theta_2}_{\theta_1}\right). \]

载流圆线圈轴线上的磁场

半径为\(R\)、电流大小恒为\(I\)的单匝载流圆线圈在其轴线上距离圆心\(r\)处产生的磁感应强度大小

\[B=\frac{IR^2\mu_0}{2(r^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}, \]

以\(I\)的正方向的右手螺旋方向为正方向。特别地，当\(r\gg R\)时，近似有

\[B\approx\frac{IR^2\mu_0}{2r^3}. \]

磁矩

根据Ampère的分子电流假说，每个分子都可以视为环形电流，分子圆电流即为基元磁体。为描述圆电流的磁学性质，引入磁(偶极)矩。

对于平面区域\(S\subseteq\mathbb{R}^3\)，设其边界\(\partial S\)上电流总强度为\(I\)（若有\(N\)匝大小为\(I_0\)的电流，则\(I=NI_0\)），定义其磁矩为

\[\vec{m}=I\vec{S}, \]

于是圆电流在轴线上距离为\(r\)处激发的磁感应强度近似为

\[\vec{B}\approx\frac{\mu_0\vec{m}}{2\pi r^3}. \]

我们把圆电流也称为磁偶极子。

载流直螺线管轴线上的磁场

匝数线密度为常量\(\lambda_N\)、半径为\(R\)的载流螺线管的轴线两端分别在\(x\)轴上坐标\(x_1,x_2\)处，设电流正方向为从\(x_1\)到\(x_2\)的右手螺旋方向，电流强度为\(I\)，则轴线上\(x=0\)处的磁感应强度为

\[B=\frac{1}{2}I\mu_0\lambda_N\left.\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right|^{x_2}_{x_1}. \]

运动电荷产生的磁场

电荷量为\(q\)、速度为\(\vec{v}\)的电荷在相对于它\(\vec{r}\)处产生的磁感应强度

\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times\hat{r}}{r^2}. \]

磁场的Gauss定理和Ampère环路定理

磁通量 磁场的Gauss定理

磁场的Gauss定理：

\[\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0, \]

即磁场是无源场。

Ampère环路定理

设曲面\(S\subseteq\mathbb{R}^3\)，则

\[\oint_{\partial S}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

Ampère环路定理的应用

无限长均匀载流圆柱面的磁场分布

电流在截面上均匀分布的无限长圆柱体的磁场分布

无限大平面电流的磁场分布

无限长均匀密绕载流直螺线管的磁场分布

匝数线密度为常量\(\lambda_N\)、半径为\(R\)、电流为\(I\)的无限长载流螺线管中磁场均匀分布，磁感应强度大小

\[B=I\mu_0\lambda_N. \]

均匀密绕载流螺绕环的磁场分布

匝数为\(N\)、电流为\(I\)的均匀密绕载流螺绕环中，距离中心直轴半径为\(r\)处的磁感应强度平行于赤道面并垂直于半径，大小为

\[B=\frac{IN\mu_0}{2\pi r}. \]

磁场对载流导线的作用

Ampère力

电流元\(I\mathrm{d}\vec{l}\)在磁感应强度为\(\vec{B}\)的磁场中所受磁力的合力为

\[\mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{m}}=I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}, \]

称为Ampère力。

磁场对载流线圈的作用

磁矩为\(\vec{m}\)的线圈在磁感应强度为\(\vec{B}\)的磁场中受到的相对于其几何中心的磁力矩

\[\vec{M}=\vec{m}\times\vec{B}. \]

磁场对运动电荷的作用

Lorentz力

带电粒子在磁场中的运动

应用实例

速度选择器

Thomson实验

质谱仪

回旋加速器

霍尔效应

磁场中的磁介质

磁介质对磁场的影响

类比电介质中的电场，磁介质中的总磁场

\[\vec{B}=\vec{B}_0+\vec{B}', \]

其中\(\vec{B}_0\)为原/外磁场，\(\vec{B}'\)是磁介质产生的附加磁场。在各向同性的磁介质均匀充满磁场时，

\[\vec{B}=\mu_{\mathrm{r}}\vec{B}_0, \]

其中\(\mu_{\mathrm{r}}\)称为相对磁导率。真空的相对磁导率为\(1\)。

• 磁介质按磁导率分类：
  • \(\mu_{\mathrm{r}}>1\)但\(\mu_{\mathrm{r}}\approx1\)的称为顺磁质。
  • \(\mu_{\mathrm{r}}<1\)但\(\mu_{\mathrm{r}}\approx1\)的称为抗磁质。
  • \(\mu_{\mathrm{r}}\gg1\)的称为铁磁质。

磁介质的极化

磁化强度矢量\(\vec{M}\)与磁化电流

可以用单位体积内分子磁矩的矢量和来表示磁介质磁化的强弱程度，定义为磁化强度矢量

\[\vec{M}=\frac{\mathrm{d}(\sum\vec{m})}{\mathrm{d}V}. \]

磁化强度的方向在顺磁质中与外磁场相同，在抗磁质中与外磁场相反。

均匀磁化的磁介质内部分子电流相互抵消，只有表面上形成环形电流，称为磁化/束缚电流。磁化电流的面密度（单位宽度内通过的电流）

\[\vec{K}'=\vec{M}\times\vec{n}, \]

其中\(\vec{n}\)为表面的法线方向。曲面\(S\subseteq\mathbb{R}^3\)内总的磁化电流

\[I'=\oint_{\partial S}\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{l}. \]

有介质时的Ampère环路定理 磁场强度矢量\(\vec{H}\)

定义磁场强度

\[\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}. \]

介质中的Ampère环路定理：设曲面\(S\subseteq\mathbb{R}^3\)，则

\[\oint_{\partial S}\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

在各向同性的均匀磁介质中，

\[\vec{M}=\chi_{\mathrm{m}}\vec{H}, \]

其中系数\(\chi_{\mathrm{m}}\)称为磁介质的磁化率。于是

\[\vec{B}=(\chi_{\mathrm{m}}+1)\mu_0\vec{H}, \]

相对磁导率

\[\mu_{\mathrm{r}}=\chi_{\mathrm{m}}+1, \]

磁导率

\[\mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0, \]

于是

\[\vec{B}=\mu\vec{H}. \]

铁磁质

电磁感应和电磁场

Faraday电磁感应定律

电磁感应现象

Faraday电磁感应定律

Faraday电磁感应定律：

\[\mathscr{E}=-\frac{\mathrm{d}\varPsi}{\mathrm{d}t}, \]

其中全磁通\(\varPsi\)为各匝线圈的磁通量之和。特别地，若各匝线圈磁通量均为\(\varPhi\)，则\(\varPsi=N\varPhi\)又称为磁链，此时

\[\mathscr{E}=-N\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t}. \]

楞次定律

楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起它的原因。

动生电动势和感生电动势

动生电动势

在电磁感应现象中，单纯由导体运动（而磁场不变化）产生的感应电动势称为动生电动势，其表达式为

\[\mathrm{d}\mathscr{E}=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{l}. \]

感生电动势

导体固定不动，导体回路所在位置处的磁场随时间变化所产生的感应电动势称为感生电动势，其表达式为

\[\mathscr{E}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

Maxwell提出假设：变化的磁场在周围激发电场\(\vec{E}_{\mathrm{I}}\)，这种电场称为感生电场，感生电动势

\[\mathscr{E}=\oint_l\vec{E}_{\mathrm{I}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}, \]

总的感应电动势

\[\mathscr{E}=\oint_l(\vec{v}\times\vec{B}+\vec{E}_{\mathrm{I}})\cdot\mathrm{d}\vec{l}, \]

感生电场

感生电场的Gauss定理：任取闭合曲面\(S\subseteq\mathbb{R}^3\)，有

\[\oint_S\vec{E}_{\mathrm{I}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=0, \]

即感生电场是无源场。

同时考虑静电场和感生电场，于是可得总电场的Gauss定理

\[\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho_q\ \mathrm{d}V, \]

总电场的环路定理

\[\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

涡电流及电磁阻尼

自感与互感

自感

线圈的全磁通正比于电流，称比例系数为线圈的自感(系数)，即

\[L=\frac{\varPsi}{I}. \]

对于非铁磁质，自感与线圈的形状、大小、匝数、周围磁介质的情况有关。对于确定的线圈和非铁磁质的磁介质，自感为常量。

自感电动势

\[\mathscr{E}_L=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}, \]

由此可得自感的另一种定义

\[L=-\mathscr{E}_L\left/\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\right.. \]

互感

对于彼此靠近的两线圈，线圈\(2\)的全磁通正比于线圈\(1\)的电流，称该比例系数为两回路间的互感(系数)，即

\[M=\frac{\varPsi_2}{I_1}. \]

同时也有线圈\(1\)的全磁通正比于线圈\(2\)的电流，且这两个比例系数相等，即

\[M=\frac{\varPsi_2}{I_1}=\frac{\varPsi_1}{I_2}. \]

于是互感电动势

\[\mathscr{E}_2=-M\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t},\ \mathscr{E}_1=-M\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}. \]

磁场的能量和能量密度

电感线圈的能量

\[E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}LI^2 \]

也成为自感磁能。

磁场的磁能密度

\[\rho_{E_\mathrm{m}}=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}. \]

Maxwell方程组 电磁波

位移电流

Ampère环路定理不适用于非稳定电流。为了将其推广到非稳定电流，定义位移电流密度

\[\vec{J}_{\mathrm{d}}=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \]

和位移电流

\[I_{\mathrm{d}}=\int_S\vec{J}_{\mathrm{d}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

定义全电流密度

\[\vec{J}_{\mathrm{s}}=\vec{J}_{\mathrm{c}}+\vec{J}_{d}, \]

其中\(\vec{J}_{\mathrm{c}}\)是传导电流密度，定义全电流

\[I_{\mathrm{s}}=I_{\mathrm{c}}+I_{\mathrm{d}}, \]

其中\(I_{\mathrm{c}}\)是传导电流。

Ampère环路定理的普遍表达式

普遍意义的Ampère环路定理：

\[\oint_{\partial S}\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S\left(\vec{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

Maxwell方程组

Maxwell方程组的积分形式为

\[\begin{cases} \oint_{\partial V}\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_V\rho_q\ \mathrm{d}V\\ \oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\ \oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0\\ \oint_{\partial S}\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=I_{\mathrm{c}}+\int_S\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S} \end{cases}, \]

微分形式为

\[\begin{cases} \nabla\cdot\vec{D}=\rho_q\\ \nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\vec{B}=0\\ \nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \end{cases}, \]

对于各向同性的介质，有

\[\begin{cases} \vec{D}=\varepsilon\vec{E}\\ \vec{B}=\mu\vec{H}\\ \vec{J}_{\mathrm{c}}=\sigma\vec{E} \end{cases}, \]

对于运动的带电粒子，有电磁力

\[\vec{F}_{\mathrm{L}}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}. \]

电磁波

真空一维电磁波的微分形式

\[\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial x^2}=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t}, \]

由此可知波速

\[c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}. \]

介质中波速

\[v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}, \]

定义介质的折射率

\[n=\frac{c}{v}=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}. \]

空间中电磁波的能量密度

\[\rho_E=\varepsilon E^2=\frac{B^2}{\mu}， \]

单位时间内通过波传播方向上单位面积的电磁波的能量叫做电磁波的能流密度

\[S=wv=EH, \]

定义能流密度矢量\(\vec{S}\)大小为\(S\)，方向为传播方向，于是

\[\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}, \]

称为Poynting矢量。对于简谐电磁波，一个周期内的平均能流密度

\[\overline{S}=\frac{1}{2}E_0H_0, \]

其中\(E_0,H_0\)分别为电矢量和磁矢量的振幅。通常将电磁波的平均能流密度称为电磁波的强度。

超导

超导体的物理特性

BCS理论简介

Josephson效应

超导在技术中的应用