等距插值的弗雷瑟图表法（Fraser Diagram）

等距插值的弗雷瑟图表法（Fraser Diagram）

目录

• 等距插值的弗雷瑟图表法（Fraser Diagram）
  • 写在前面
  • 方法描述
  • 几个特例
    • Newton前插公式
    • Newton后插公式
    • Stirling插值公式
    • Bézier插值公式

写在前面

“然而这教材写的实在是太烂了！！点名批评！数值分析（第三版），史万明，吴裕树，孙新 编著，北京理工大学出版社。真的是内容充实内涵丰富啊，很多东西都不知道从哪里来的，查都查不到，真是逆天啊。”——范滇东《数值分析笔记》

本文介绍的Fraser图表法正是范滇东大佬所提到的“查都查不到”的东西之一。截至笔者上传此文章为止，在Bing和谷歌上能够搜索到的提到了这个词的相关资料仅有：

• 上面引用过的范滇东《数值分析笔记》
• quentucoota《人型计算器的自我修养1》
• mafuholic《数值类问题· 插值》
• An0hana的“弗雷瑟图表等距节点插值”项目
• Fraser diagram - Encyclopedia of Mathematics

再没有了。前面几条都是我校前辈写的复习文章或项目，仅仅是提到该方法而没有进行任何介绍。事实上，除了最后一条（而且是英文的）以外，没有其他任何网络资料介绍这个方法。

据《数值分析》作者之一，孙新老师，在上课时所述，这是另一位作者，史万明老师（1937.4-），从一本老旧俄文书中抠出来的。我也许查出了这本俄文书是哪一本了。

关于《数值分析》背后的事

“其实当时（编）教材在写弗雷瑟表的时候，我也很好奇，我（于是）问史万明老师，我们实验室的老教师，说：‘史老师，你为什么会拿出这么一个方法？’他跟我阐释说，他希望用一种很工程化的思路，来看数学问题。他看到这个表，是在我们实验室——你所能理解的——上个世纪的一个陈旧的还泛着一点霉味的书柜里面，他找到了一本俄文书，俄文书里面有这个图。他当时把我敬佩坏了，我说，‘史老师，你还懂俄文哪？’（笔者注：当年学生学的外语应该不少是俄语，所以在笔者看来并不奇怪）史老师说，‘我不懂俄文啊，但我会看公式啊。’所以他纯粹是从一本俄文的书里看到了这样的表和这样的公式，然后他猜测出是要干这件事情，然后就把它做到了咱们的教材里了。所以我觉得每一代人都有每一代人他们努力钻研的地方。那个时候没有那么多资讯，包括我说的史万明老师，他都不很会操作电脑。……所以在他写教材的时候，他真的都是手写稿，手写得非常漂亮——字也漂亮，图也漂亮，公式也漂亮，所有的那些图，包括第五章你们看到的很多插值公式的那些图，都是他自己手绘的，我都完全设想不出是怎么绘出来的。最后我帮他整理的时候，（他给的手稿）就是那种（在）作文稿纸（上）写出来的。……我只是觉得这种科研的精神确实挺让人佩服的。”——孙新，2025年11月13日，第二大节，数值分析

关于史万明参考的那本俄文书的猜测

上面提到的最后一个网页，Fraser diagram - Encyclopedia of Mathematics，其“References”中的第一条是：

[1] I.S. Berezin, N.P. Zhidkov, "Computing methods" , 1 , Pergamon (1973) (Translated from Russian)

这本书实在是太老了，以至于我怀疑其根本没有电子版。事实上我也没能找到。不过，我找到了他的电子版目录，而且是我能看懂的英文版。一搜索，果然有！

所以现在，我想向中文互联网正式引入此方法，解决北理同学课本讲不清楚、网上搜都搜不到、LLM连听都没听说过弗雷瑟图表法（Fraser diagram）的痛苦困境。让我们开始罢。

方法描述

很神经病的方法。但我必须承认，它确实做到了如孙新老师所述的，统一描述所有的等距插值公式。

设\(h\)为插值间距，\(y_i\)是\(f\)在插值节点\(x_i=x_0+hi\ (i\in\mathbb{Z})\)处的函数值。定义\(\Delta^0y_j\ (j\in\mathbb{Z})\)为\(f\)在插值区间上的\(0\)阶差分，\(\Delta^iy_j=\Delta^{i-1}y_{j+1}-\Delta^{i-1}y_j\ (i\in\mathbb{N}^*,\ j\in\mathbb{Z})\)为\(f\)在插值区间上的\(i\)阶差分。

根据以下规则构建一张在右、上、下三个方向上无限延伸的图表：

\[\begin{array}{ccc} \binom{t-j}{i} & & \Delta^{i+1}y_{j-1} \\ & \nearrow & \\ \Delta^iy_j & \rightarrow & \binom{t-j}{i+1} \\ & \searrow & \\ \binom{t-j-1}{i} & & \Delta^{i+1}y_j \end{array}\ \left(i\in\mathbb{N},\ j\in\mathbb{Z},\ t=\frac{x-x_0}{h}\right). \]

一共有四种无向边，它们都连接相邻两列上的两个元素。规定：向右走获得的项要加到结果中，向左走获得的结果要从结果中减去；获得的结果都是根据所走的边的右侧的端点及其上和/或下的元素来确定的。于是我们下面可以只讨论沿这四种边向右的情况：

• 从一个差分\(\Delta^iy_j\)出发，向右上方到达另一个差分\(\Delta^{i+1}y_{j-1}\)：获得的项为\(\Delta^{i+1}y_{j-1}\)乘上其正下方的二项式系数\(\binom{t-j}{i+1}\)。
• 从一个差分\(\Delta^iy_j\)出发，向正右方到达一个二项式系数\(\binom{t-j}{i+1}\)：获得的项为\(\binom{t-j}{i+1}\)乘上其上下两个差分的平均值\(\frac{\Delta^{i+1}y_{j-1}+\Delta^{i+1}y_j}{2}\)。
• 从一个二项式系数\(\binom{t-j}{i}\)出发，向正右方到达一个差分\(\Delta^{i+2}y_{j-1}\)：获得的项为\(\Delta^{i+2}y_{j-1}\)乘上其上下两个二项式系数的平均值\(\frac{\binom{t-j+1}{i+2}+\binom{t-j}{i+2}}{2}\)。
• 从一个差分\(\Delta^iy_j\)出发，向右下方到达另一个差分\(\Delta^{i+1}y_j\)：获得的项为\(\Delta^{i+1}y_j\)乘上其正上方的二项式系数\(\binom{t-j}{i+1}\)。

一个\(n\)阶的插值多项式（一共需要\((n+1)\)个插值节点）就是从\(i=-1\)（在图的左边以外）处出发向右走一步到\(i=0\)的某一处（这一步也算到最终的路径中），再走若干步（不能走出图）到\(i=n\)的某一处的路径之和。此处的路径不一定是一直向右的——正如上面所说，只需减去向左走获得的结果即可——甚至可以有回路。沿图上任何一个回路（包括二元环，即沿着一条边走过去再走回来）的结果均为\(0\)。

几个特例

使用弗雷瑟图表法可以统一描述以下四种长得像但直接观察又难以找出统一规律的等距插值公式。掌握此法，即可免于死记硬背，虽然前者本身也难免于一些记忆。

Newton前插公式

从\(\Delta^0y_0\)出发，向右下方沿直线走到\(\Delta^n y_n\)，即得\(n\)阶Newton前插公式

\[P_n(x)=\sum_{i=0}^n\binom{t}{i}\Delta^iy_0\ \left(t=\frac{x-x_0}{h}\right). \]

适合目标点靠经插值区间左端点的情况。

Newton后插公式

从\(\Delta^0y_n\)出发，向右上方沿直线走到\(\Delta^ny_0\)，即得\(n\)阶Newton后插公式

\[P_n(x)=\sum_{i=0}^n\binom{t-n-1+i}{i}\Delta^iy_{n-i}\ \left(t=\frac{x-x_0}{h}\right). \]

适合目标点靠经插值区间右端点的情况。

Stirling插值公式

从\(i=-1\)出发走到\(\Delta^0y_0\)，接着向正右方沿直线走\(n\)步。路径上二项式系数与差分交替，注意终点既可能是二项式系数又可能是差分。

适合\(\left\lvert t\right\rvert\leq\frac{1}{4}\)的情况。

Bézier插值公式

从\(i=-1\)出发走到\(\binom{t-0-1}{0}\)，接着向正右方沿直线走\(n\)步。路径上差分与二项式系数交替，注意终点既可能是二项式系数又可能是差分。

适合\(\left\lvert t-\frac{1}{2}\right\rvert\leq\frac{1}{4}\)的情况。