Sigmoid函数对x求导，结果是什么？

Sigmoid函数对 xx 求导的结果是：

σ′(x)=σ(x)⋅(1−σ(x))σ′(x)=σ(x)⋅(1−σ(x))

其中，Sigmoid函数的定义为：

σ(x)=11+e−xσ(x)=1+e−x1​

通过链式法则，我们可以推导出其导数：

1. 首先，设 σ(x)=11+e−xσ(x)=1+e−x1​。
2. 令 u=1+e−xu=1+e−x，则 σ(x)=u−1σ(x)=u−1。
3. 对 uu 求导，得到 dudx=−e−xdxdu​=−e−x。
4. 对 σ(x)σ(x) 求导，得到 σ′(x)=−u−2⋅dudx=e−x(1+e−x)2σ′(x)=−u−2⋅dxdu​=(1+e−x)2e−x​。

进一步简化：

σ′(x)=11+e−x⋅e−x1+e−x=σ(x)⋅(1−σ(x))σ′(x)=1+e−x1​⋅1+e−xe−x​=σ(x)⋅(1−σ(x))

这个结果在机器学习和神经网络中非常重要，因为它在反向传播算法中用于计算梯度。