闲话 22.9.27

闲话

似乎没几个人把闲话设为显示
但是我除了闲话没啥了
所以不隐藏了
而且主要的简介都在摘要里面了

我等一等再去切 risrqnis
我还剩五个点和55pts(
ok 我A了

今天想到拉格朗日的英文名是 lagrange
然后 Lag Train 延误列车
所以 Lag Range 延误区间

[这里放一张延误列车的pv截图]

莫春者，春服既成，冠者五六人，童子六七人，浴乎沂，风乎舞雩，咏而归。

羊のような雲が浮かんだ昼すぎ

懐かしい歌が風に揺れている

あなたの声で教えて貰った言葉

今でも忘れぬように

書き留めてる同じことを

笛卡尔树

是树。一般化的笛卡尔树在每个点有两个权值 \((a_i,b_i)\)，对 \(a\) 满足堆性质，对 \(b\) 满足BST性质。

笛卡尔树在序列上建是很有用的。由此产生了四毛子等东西（
具体地，我们将序列的值赋作 \(a\)，将序列下标赋作 \(b\)。容易发现这样使得一段连续的区间在笛卡尔树上也连续，而且区间最大/小值是区间端点的 LCA。

关于建树：
考虑单调栈维护右链。我们从左到右扫序列，每次将当前元素插入单调栈，作为栈顶元素的对应儿子。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int k = top;
    while (k > 0 && h[stk[k]] > h[i])
        k--;
    if (k)
        rs[stk[k]] = i; 
    if (k < top)
        ls[i] = stk[k + 1]; 
    stk[++k] = i;
    top = k;
}

然后就可以把序列问题转化成树上问题了。

应用1：四毛子算法

\(\text{Four Russian Algo [pre] [pre]} \ (\pm 1 RMQ)\)

给定一个序列，满足其差分序列只有 \(+1,-1\)。\(O(n) -O(1)\) 求区间最小值。

我们进行分块。设块长为 \(B = \frac {\log n} 2\)，则我们可以将区间最小值转化成三次最小值的最小值。如果我们能快速求得每块的最小值就可以通过ST表进行整块的维护。

考虑相邻元素之间差是 \(+1, -1\)，因此在一块内本质不同的情况只有 \(2^B = \sqrt n\) 种。我们预处理每种可能的 RMQ，这样带来的复杂度花费不会超过 \(O(n)\)。ST 表有复杂度 \(O(\frac nB log nB) = O(n)\).

因此有 \(O(n) -O(1)\) 区间最小值。

\(\text{Four Russian Algo [pre] (Faster LCA)}\)

给定一棵树。\(O(n) -O(1)\) 求两点 LCA。

我们跑出树的（拓展）欧拉序，每经过一条边就记录两端点。
然后两点第一次在这个序里出现的位置间深度最小的点就是 LCA。我们发现深度的变化是 \(\pm 1\)。于是问题转化成 \(\pm 1 RMQ\) 问题，如上求解就行。

\(\text{Four Russian Algorithm}\)

给定一个序列。\(O(n) -O(1)\) 求区间最小值。

跑出这个序列的笛卡尔树。
于是问题转化成快速 LCA 问题，如上求解就行。

这就是四毛子。

应用2：拓展(?)建树

即在一棵树上建出笛卡尔树。

做法和序列笛卡尔树一样，也是直接并入。具体按如下程序（大根堆）：
按权值扫描每个节点。扫描到一个节点时，判断所有与该节点相连的连通块。如果连通块的代表元小于该节点，则将该节点并入连通块，代表元设为该节点，并以该节点为父亲与代表元连边。

int fa[N];
int find(int x) { return x == fa[x] ? fa[x] : fa[x]=find(fa[x]); }

#define Aster(s, id) for ( register int i = head[s][id]; i; i = e[i].next )
int head[N][2], mlc;
struct node{
    int to, next;
} e[N<<2];
void adde(int u, int v, int id) {
    e[++mlc] = {v, head[u][id]};
    head[u][id] = mlc;
	
rep(i,1,n) {
    Aster(i, 0) {
        int ret=find(e[i].v);
        if(e[i].v < x and ret == x){
            adde(x,ret,1);
            fa[ret] = x;
        }
    }
}

\(\text{-SUPER- DouBlize}\)

给定一棵 \(n\) 个点的树，询问满足编号最小值为起点，最大值是终点的路径 \(x\rightarrow y\) 的数量。

\(n \le 1e6\).

构造两棵笛卡尔树，一棵小根一棵大根。问题转化成在两棵树上都是祖先子孙关系的节点对数。
跑出一棵树的dfs序，另一棵树进行dfs。dfs时将祖先在另一棵树上的dfs序插入树状数组，然后查询当前节点的dfs序区间就是答案。
主要是构造笛卡尔树，剩下的乱搞就行。