闲话
哎哎哎期末前周，周一面试周二验收大作业周三早八考试下周期末
似了得了
但是塞尔达（模拟器版）好玩捏
为了塞尔达买了手柄！爽！
为了手柄下了个战神5 也爽！
但是没时间打了！不爽！
借鱼花献佛
鱼花好吃捏
推歌：下等马 by ChiliChill ft. 洛天依, 我没有去那场烟火大会 by 神经罐头 ft. ANRI Arcane, 月球未接来电 by 塑料小猪销售中心 ft. 洛天依, 脑壳疼 by ilem ft. 洛天依
借花献佛
事情是这样的：不务正业里有一道老题，形式很好看但是没有 gf 证法（我不会）。前两天扔给了鱼鱼，鱼鱼一眼秒了！鱼鱼可爱捏！
\(20.\) 证明：\(\forall n \in \mathbb N\)，
\[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dfrac{ij(-1)^{i + j}}{(2i+1)(2j+1)(i+j)} \binom{n+i}{i}\binom{n}{i}\binom{n+j}{j}\binom{n}{j} = \dfrac{n(n+1)}{(2n+1)^2}
\]
正攻！
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n} \sum_{j = 1}^n \dfrac{ij(-1)^{i + j}}{(2i+1)(2j+1)(i + j)} \binom{n + i}{i} \binom{n}{i} \binom{n + j}{j} \binom{n}{j}
\\ = \ & \sum_{i, j} \dfrac{ij(-1)^{i + j}}{(2i+1)(2j+1)(i + j)} \binom{n + i}{2i} \binom{2i}{i} \binom{n + j}{2j} \binom{2j}{j}
\\ = \ & \sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left(\sum_{i\ge 0} \left( \dfrac{[x^{n - i}]}{(1 - x)^{2i + 1}} \right) \binom{2i}{i} \dfrac{i (-t)^i}{2i + 1}\right)^2
\\ = \ & \sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left(\dfrac{[x^n]}{1 - x} \sum_{i\ge 0} \binom{2i}{i} \dfrac{i (-t)^i}{2i + 1} \left (\dfrac{x}{(1 - x)^2}\right)^i \right)^2
\\ = \ & \sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left(\dfrac{[x^{2n}]}{1 - x^2} \sum_{i\ge 0} \binom{2i}{i} \dfrac{i (-t)^i}{2i + 1} \left (\dfrac{x}{1 - x^2}\right)^{2i} \right)^2
\\ = \ & \sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left([x^{2n + 1}] \sum_{i\ge 0} \binom{2i}{i} \dfrac{i (-t)^i}{2i + 1} \left (\dfrac{x}{1 - x^2}\right)^{2i + 1} \right)^2
\\ = \ & \sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left(\dfrac{[x^{2n}]}{2n + 1} \left (\dfrac{x}{1 - x^2}\right)'\sum_{i\ge 0} \binom{2i}{i} i (-t)^i \left (\dfrac{x}{1 - x^2}\right)^{2i} \right)^2 \qquad \left( [x^n] f(u) = \dfrac{1}{n} [x^{n - 1}] u' f'(u) \right)
\\ = \ & \dfrac{1}{(2n + 1)^2}\sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left([x^n] \dfrac{1 + x}{(1-x)^2} \sum_{i\ge 0} \binom{2i}{i} i \left(\dfrac{-xt}{(1 - x)^2}\right)^{i} \right)^2
\\ = \ & \dfrac{1}{(2n + 1)^2}\sum_{k\ge 1} \frac{[t^k]}{k} \left([x^n] \dfrac{1 + x}{(1-x)^2} \left(2 \left(\dfrac{-xt}{(1 - x)^2}\right) \left(1 - 4 \left(\dfrac{-xt}{(1 - x)^2}\right)\right)^{-3/2}\right) \right)^2
\\ = \ & \dfrac{1}{(2n + 1)^2}\sum_{k\ge 1}\dfrac{[t^k]}{k} 4t^2 \left([x^{n - 1}] \dfrac{1 + x}{(1-x)^4}\left(1 + \dfrac{4xt}{(1-x)^2}\right)^{-3/2}\right)^2
\\ = \ & \dfrac{1}{(2n + 1)^2} \left(\int_0^1 \dfrac{\mathrm{d}t}{t}\right) 4t^2 \left([x^{n - 1}] \dfrac{1 + x}{(1-x)^4}\left(1 + \dfrac{4xt}{(1-x)^2}\right)^{-3/2}\right)^2
\\ = \ & \dfrac{4}{(2n + 1)^2} [x^{n - 1}y^{n - 1}] \dfrac{(1 + x)(1 + y)}{(1 - x)^4(1 - y)^4} \int_0^1 t \left(1 + \dfrac{4xt}{(1-x)^2}\right)^{-3/2} \left(1 + \dfrac{4yt}{(1-y)^2}\right)^{-3/2} \mathrm{d}t
\end{aligned}\]
我们先停一下，算一算那个积分。
\[\begin{aligned}
&\int_0^1 t(1 + ut)^{-3/2} (1 + vt)^{-3/2} \mathrm{d}t
\\ = \ & \int_0^1 \dfrac{t}{(1 + vt)(1 + ut)^2} \sqrt{\dfrac{1 + ut}{1 + vt}} \mathrm{d}t
\\ = \ & \dfrac{2}{(u - v)^2} \int_{s(0)}^{s(1)} \dfrac{s^2 - 1}{s^2} \mathrm{d} s \qquad\left(s\leftarrow\sqrt{\dfrac{1+ut}{1+vt}}\right)
\\ = \ & \dfrac{2(s(1) + 1/s(1) - s(0) - 1/s(0))}{(u - v)^2}
\\ = \ & \dfrac{2}{(u - v)^2} \left(\sqrt{\dfrac{1+u}{1+v}} + \sqrt{\dfrac{1+v}{1+u}} + 2\right)
\\ = \ & \dfrac{2}{(u - v)^2} \left(\dfrac{2 + u + v}{\sqrt{(u + 1)(v + 1)}} + 2 \right)
\end{aligned}\]
那么原式
\[\begin{aligned}
= \ & \dfrac{4}{(2n + 1)^2} [x^{n - 1}y^{n - 1}] \dfrac{(1 + x)(1 + y)}{(1 - x)^4(1 - y)^4} \dfrac{(1-x)^4(1-y)^4}{8\left(x(1-y)^2 - y(1-x)^2\right)^2} \left(\dfrac{2 + \frac{4\left(x(1-y)^2 + y(1-x)^2\right)}{(1 - x)^2(1-y)^2}}{\frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)}} + 2\right)
\\ = \ & \dfrac{[x^{n - 1}y^{n - 1}] }{(2n + 1)^2} \dfrac{(1 - x)^2(1-y)^2 + 2\left(x(1-y)^2 + y(1-x)^2\right) + (1+x)(1+y)(1-x)(1-y)}{\left(x(1-y)^2 - y(1-x)^2\right)^2(1-x)(1-y)}
\\ = \ & \dfrac{2}{(2n + 1)^2} \dfrac{[x^{n - 1}y^{n - 1}]}{(1-x)(1-y)(x-y)^2}
\end{aligned}\]
最后鱼鱼得到了 \((1-x)(1-y)(1-xy)^2\)，我和鱼鱼的结果不太一样。到这里我选用的是某个古老方法，你想换元 \(u \leftarrow x, v \leftarrow y/x\) 也可以。显然 \(F(x, y) = \left((1-x)(1-y)(x-y)^2\right)^{-1}\) 在 \((1/2, 1/3)\) 收敛。
\[F(s,z/s)/s = \dfrac{s^2}{(1-s)(s-z)(s^2-z)^2}
\]
其所有奇点为 \(s = 1, z, \pm \sqrt z, \pm\sqrt{z}\)，故求需要的留数和得到答案即为
\[\dfrac{2}{(2n + 1)^2} [z^{n - 1}] \dfrac{1}{(1-z)^3} = \dfrac{n(n + 1)}{(2n + 1)^2}.\quad \square
\]
我推导的时候可能是太正攻了，每次推着推着就出现了奇怪的超几何函数。
三句话让鱼鱼为我推式子 18 页。我是一个很擅长让鱼鱼为我推式子的精通人性的周讲师。
前几天我和鱼鱼在聊新博客，结束之后，我直接问了一句：“哇塞，你今天好厉害，给你个机会做道题”。她哈哈（二声）大笑，一时半会儿呢，都没有回过神来。这种啦，就是典型的直女。然后我坐下来继续问，我们玩个问答游戏吧，她说你问我答。
我说，你知道做这道题的什么时候最帅吗？她说我不知道，所以直女很无趣，普通妹妹这个时候会说，你给出第一个 observation 的时候最帅。但是我说什么，你整理和式，加一元处理组合数，配凑消分母，算和式封闭形式，转积分表述，加一元处理平方，mma辅助化简，提取对角线系数的时候最帅。她又是一份意想不到的狂喜，接下来的全程我什么也不用干……
哎哎老梗 ref：https://blog.csdn.net/EI_Captain/article/details/119546405
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