斯特林反演与伯恩赛德引理

前言：~~组合数学真难~~

真·前言：

至少需要会分治 FFT/NTT 等操作，最好要会多项式全家桶。（~~不然你斯特林数都求不了~~

二项式反演可以复习一下。

斯特林数的系数会因为简便的写法有时候会非法，这个时候统统看作 $0$，对答案不造成影响。

草稿纸和笔必备，随时准备推式子。

基础知识

1. 组合式子扩展与组合恒等式：

${n \choose m } = {n \choose n - m}$
${n \choose m} = {n - 1\choose m} + {n - 1 \choose m - 1}$
$\sum_{i =0} ^ n {n \choose i} = 2^n$ 其中奇数项之和等于偶数项之和 $(n \neq 0)$。
$k$ 个非负整数的和为 $n$ 的方案数： $n + k - 1 \choose k - 1$
走格子到 (n,m) / 个数为 $n$ 且单调不下降的序列最后一个数大小为 $m$ 的方案数 : $n + m \choose n$
上一条的扩展: $\sum_{i = 0} ^ m {n + i \choose i} = {n+m+1\choose m}$ 特别的： $\sum_{i = k}^m {i \choose k} = {m + 1 \choose m - k}$
${n\choose m} * {m\choose k} = {n \choose k}*{n - k \choose m - k}$
$\sum_{i = 0}^k {n\choose i}*{m \choose k - i} = {n + m\choose k}$
$n^{\underline{m}} = {n\choose m} * m!$

2. 斯特林数

第一类斯特林数：即 $n$ 个不同的数分成 $m$ 个非空环排列的方案数，记作: $\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}$

递推公式：$\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n - 1 \\ m - 1 \end{bmatrix} + (n - 1) * \begin{bmatrix} n - 1 \\ m \end{bmatrix}$

第二类斯特林数：即 $n$ 个不同的数分成 $m$ 个非空集合的方案数，记作：$\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}$

递推公式：$\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n - 1 \\ m - 1 \end{Bmatrix} + m *\begin{Bmatrix} n - 1 \\ m \end{Bmatrix}$

通项公式：$\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} = \frac {1}{m!} \sum_{i = 0}^m (-1)^i {m\choose i}(m - i)^n$

上升幂：$n^{\overline{m}}$

下降幂：$n^{\underline{m}}$

3. 自然数幂的处理：

记： $S_k(n) = \sum_{i = 1} ^n i^k$

拉格朗日插值： $y = \sum y_i\sum _{j \neq i} \frac{X-x_j}{x_i - x_j}$
$S_k(n) = \frac{(n + 1)^{\underline k + 1}}{k + 1} - \sum_{i = 0}^{k - 1} (-1)^{k - i}\begin{bmatrix} k \\ i \end{bmatrix} S_i(n)$
补：$n^{\underline m} = \sum_{i = 0}^m (-1)^{m - i}\begin{bmatrix} m \ i \end{bmatrix} n^i $
$n^m = \sum_{i = 0}^{m}\begin{Bmatrix} m \\ i \end{Bmatrix} n^{\underline i}$
$n^{\overline m} = \sum_{i=0}^m\begin{bmatrix} m \\ i \end{bmatrix}n^i$

4. 第一/二类数的行与列求法：（至少要了解最常见的求法）

之前已经可以 $O(m)$ 求 $\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}$ 单项。

第二类斯特林数行:$\begin{Bmatrix} n \\ i \end{Bmatrix}$

1. 直接看通项，卷就是了！

2. 通常幂转下降幂 -> $n^m = \sum_{i = 0}^{m}\begin{Bmatrix} m \\ i \end{Bmatrix} n^{\underline i}$ 进行二项式反演-> NTT

第一类斯特林数行: $\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}$

构造 $\prod_{i=1}^m (x+i-1)$ 使用分治 FFT ($O(nlog^2n)$) / 构造 $g(n)=\prod_{i=1}^m(x+i-1+n)$ 倍增 $O(nlogn)$。

第二类斯特林数列:$\begin{Bmatrix} i \\ m \end{Bmatrix}$

考虑 $H_k(x) = \sum_{i = 0} \begin{Bmatrix} i \\ k \end{Bmatrix}x^i$ + 递推式

$H_k(x)=\prod\limits_{i=1}^k\dfrac{x}{1-ix}=x^k\left(\prod\limits_{i=1}^k(1-ix)\right)^{-1}$

求逆 + 倍增。

第一类斯特林数列:$\begin{bmatrix} i \\ m \end{bmatrix}$

$F(x) = \frac{(−ln(1−x))^k}{k!}$

我不会！长大后再学习！

5. 斯特林反演：

引理1：

$ x^{\underline{n}} = (-1)^n (-x)^{\overline n},x^{\overline{n}} = (-1)^n (-x)^{\underline n} $

引理2:

$ \sum_{k = m}^n(-1)\begin{bmatrix} n \ k\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} k \ m \end{Bmatrix} = [m = n] $

$ \sum_{k = m}^n(-1)\begin{Bmatrix} n \ k \end{Bmatrix}\begin{bmatrix} k \ m \end{bmatrix} = [m=n] $

结论：

$ f(n) = \sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix} n \ k \end{Bmatrix}g(k) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{k = 0}^n(-1)\begin{bmatrix} n \ k \end{bmatrix}f(k) $

6. 你已经学会了斯特林反演了，试一试！

例题：[2018雅礼集训1-16] 方阵

提交地址：https://vjudge.net/problem/TopCoder-13444

题意 : 给出一个 $n\times m$ 的矩阵，每个位置可以填上 $[1,c]$ 中的任意整数。

要求填好后任意两行互不等价，且任意两列互不等价。两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同，求方案数。

$n,m\leq 4000 $.
题解：先考虑行满足的情况，设 $g(m)$ 表示有 $n$ 行互不相同，$m$ 列的方案数。

$f(m)$ 表示有 $n$ 行互不相同， $m$ 列也互不相同的方案数。

$g(m) = (c^m)^{\underline n}$ ，$g(m) = \sum_{i = 0}^m \begin{Bmatrix} m \\ i \end{Bmatrix}f(i)$

暴力计算就好力！！1
例题： 我也不知道出处，欢迎 dalao 写完后造数据。

**题意 **：给定 $n$ 个节点的树，从某个点出发开始随机游走：在点 $u$ 时，有 $p_u$ 的概率留在原地，否则等概率的向相邻的点移动，直到移动到 $1$ 号点停下。求从每个点出发直至停下，所花费的时间的 $k$ 次方的期望。

$ n ≤ 10^5，k ≤ 10^5，n · k ≤ 10^6$。
题解：设随机变量 $C_u$ 表示 $u$ 点到 $1$ 点的时间。尝试大力推式子。

存在 $k$ 次方，考虑通常幂 -> 下降幂。

考虑拆解 ${C_u \choose i}$ ，有 $C_u = p_u(C_u + 1) + \sum_v\frac{1 - p_u}{d_u}(C_v + 1)$

组合恒等式，然后再考虑变换式子。

一个点由四周更新，考虑父亲节点值与当前节点值的差分。

大力递推，最后再算一下第二类斯特林数行就好力！

7. 烧边定理：

谜语：设 $G$ 是一个作用在集合 $X $上的有限群。对 $g ∈ G$，设 $X_g$ 表示 $X$ 中在 $g$ 作用下的不动元素，则轨道数 $|X/G|$ 满足： $|X/G| = \frac 1 {|G|} \sum_{g∈G}|Xg|$ 。

大概就是大力推式子吧。

例题：AtCoder Regular Contest 062 F

题意: 给出无向图 $ G = (V, E)$，对边染 $K $种颜色之一。一个环上面的边旋转后得到的染色方案视为相同，求不同的染色方案数。

$1 ≤ N ≤ 50，1 ≤ M ≤ 100，1 ≤ K ≤ 100$。

简单版本：求单独一个环上的方案数。

题解：

主要是复合环上的不好考虑，官方题解给出了很好的一张图片。