Luogu P1363 幻象迷宫

题目：幻象迷宫

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1363

题意：有一可由无数个\(N\times M\)的迷宫通过拼接无限拓展的图，即图中点\((x,y)\)与点\((x\bmod n,y\bmod m)\)处的迷宫构造完全相同。图中.为路，#为墙，S为起始点。现由起点出发，试问通过上下左右移动是否可到达距离起点的无限远处。

分析：在起始迷宫（即所有点的坐标满足\(0\leq x<n\)且\(0\leq y<m\)的迷宫）内，所有从S点出发可到达的点集记为\(A\)。若从起始迷宫出发，可到达非起始迷宫中的点\((x,y)\)且\((x\bmod n,y\bmod m)\in A\)，即表明该点所在迷宫的S点与起始迷宫的S点连通，换而言之，即是说明从起始迷宫的S点出发可以去到无限远处的迷宫的S点。

思路：从起点出发开始搜索，若迷宫中某一相对位置在不同迷宫中走过2次，即说明可从起点走到无限远处。

实现：dfs（更优，有可能更快搜到符合能走到无限远处的条件） / bfs

时间复杂度：迷宫范围为\(N\times M(1≤N,M≤1500)\)，样例数\(t\)不超过10，每次搜索不会重复搜索迷宫中同样的点，故时间复杂度为\(O(N\times M\times t)\)。

dfs解法参考代码：

【注意】该题本质是能否到达问题，不需回溯；求路径数问题才要回溯。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define endl '\n'

int n,m,flag,ax,ay;
char g[1510][1510];
int st[1510][1510];
int to[1510][1510][2];//记录点(x,y)被搜索到的迷宫所在图中的位置 
int dx[4]={-1,1,0,0},dy[4]={0,0,1,-1};

void dfs(int x,int y,int sx,int sy){
	//(x,y)表示 点在迷宫中的一相对位置（即点的位置）
	//(sx,sy)表示 当前点所在的迷宫处于图中的位置（即迷宫的位置）
	if(flag) return;
	for(int i=0;i<4;i++){
		int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
		int nsx=sx,nsy=sy;
		if(nx>=n) nsy++;
		else if(nx<0) nsy--;
		else if(ny>=m) nsx++;
		else if(ny<0) nsx--;
		nx=(nx+n)%n,ny=(ny+m)%m;
		if(g[nx][ny]=='#') continue;
		if(st[nx][ny]){
			if(nsx!=to[nx][ny][0]||nsy!=to[nx][ny][1]){
				flag=1;//若在不同迷宫到达过相同位置->Yes
				return;
			} 
			else continue;
		}
		st[nx][ny]=1;
		to[nx][ny][0]=nsx;
		to[nx][ny][1]=nsy;
		dfs(nx,ny,nsx,nsy);
	}
}

void solve(){
	while(cin>>n>>m){
		flag=0;
		memset(st,0,sizeof(st));
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<m;j++){
				cin>>g[i][j];
				if(g[i][j]=='S') ax=i,ay=j;
			}
		}
		st[ax][ay]=1;
		to[ax][ay][0]=0;
		to[ax][ay][1]=0;
		dfs(ax,ay,0,0);
		if(flag) cout<<"Yes\n";
		else cout<<"No\n";
	}
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int T=1; 
	//cin>>T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}

bfs解法参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define endl '\n'

int n,m,flag,ax,ay;
char g[1510][1510];
int st[1510][1510];
int to[1510][1510][2];//记录点(x,y)被搜索到的迷宫所在图中的位置 
int dx[4]={-1,1,0,0},dy[4]={0,0,1,-1};

struct place{
	int x,y,sx,sy;
	//(x,y)表示 点在迷宫中的一相对位置（即点的位置）
	//(sx,sy)表示 当前点所在的迷宫处于图中的位置（即迷宫的位置） 
};

void solve(){
	while(cin>>n>>m){
		flag=0;
		memset(st,0,sizeof(st));
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<m;j++){
				cin>>g[i][j];
				if(g[i][j]=='S') ax=i,ay=j;
			}
		}
		queue<place>q;
		st[ax][ay]=1;
		to[ax][ay][0]=0;
		to[ax][ay][1]=0;
		q.push({ax,ay,0,0});
		//先标记，再入队，可减少入队数 
		while(!q.empty()){
			place now=q.front();
			q.pop();
			for(int i=0;i<4;i++){
				int nx=now.x+dx[i],ny=now.y+dy[i];
				int nsx=now.sx,nsy=now.sy;
				if(nx<0) nsy--;
				else if(nx>=n) nsy++;
				else if(ny<0) nsx--;
				else if(ny>=m) nsx++;
				nx=(nx+n)%n,ny=(ny+m)%m;
				if(g[nx][ny]=='#') continue;
				if(st[nx][ny]){
					if(to[nx][ny][0]!=nsx||to[nx][ny][1]!=nsy){
						//若在不同迷宫到达过相同位置->Yes 
						flag=1;
						break;
					}
				} 
				else{
					st[nx][ny]=1; 
					to[nx][ny][0]=nsx;
					to[nx][ny][1]=nsy;
					q.push({nx,ny,nsx,nsy});
				}
			}
		} 
		if(flag) cout<<"Yes\n";
		else cout<<"No\n";
	}
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int T=1; 
	//cin>>T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}