CDOJ 3 BiliBili, ACFun… And More! 解题报告

好吧，我还是回来了，竞赛结束后也没怎么碰那个unnamed.space了，现在早就已经过期了。同样的几个月没有碰OI了，手明显生疏很多，毕业了重新搞搞OI吧，想必落下了很多。

高考考得很渣，不过很荣幸自主招生进了电子科技大学某郫县男子技校，于是去他们的OJ上围观了一下，随便做几题玩玩。

嘛，嘛，不提了，我来讲讲CDOJ 3的大致做法，很明显的追及问题，因为数据很小，\(O(n)\)暴力可过，然而推公式的话，也是有\(O(1)\)的做法的。

这里我没有用暴力（我是做完后对拍才到网上搜到的暴力做法……），一开始就推导公式了。

因为题目说是kennethsnow看的时间，而且看样例数据可以得出来，一开始的T是不计入最后结果的，一开始没注意到被坑了。

首先考虑简单的情况，在\(X<Y\)和\(TY>S\)的时候结果是显而易见的，直接输出\(\frac{S}{X}\)就是答案。

我们知道一开始的T时间加载了\(TY\)的数据——至此我称其为第0阶段。

第1次播放完将耗时\(TY\times\frac{1}{X-Y}\)，这个时候又会加载完毕\(TY\times\frac{X}{X-Y}\)的数据——我称之为第1阶段

第2次播放完将耗时\(TY\times\frac{X}{(X-Y)^2}\)，这个时候又会加载完毕\(TY\times\frac{X^2}{(X-Y)^2}\)的数据——我称之为第2阶段

……同理，看得出播放耗时和已加载视频都是等比数列

第n次播放完将耗时\[TY\times\frac{X^{n-1}}{(X-Y)^n}\]，如果这个时间\(>S/X\)，意味着这第n次已经加载完了整个视频，则第n段的耗时就是\(S/X\)

又上面的不等式得\[TY\times\frac{X^{n-1}}{(X-Y)^n}>\frac{S}{X}\]

解得\[n=\left\lceil\log_{X/(X-Y)}\frac{S}{TY}\right\rceil\]

根据等比数列求和公式，总用时\[\begin{align*}\sum&=\frac{TY}{X-Y}\times\frac{\left(\frac{X}{X-Y}\right)^{n-1}-1}{\frac{X}{X-Y}-1}+\frac{S}{X}\\&\\&=\frac{TY}{X-Y}\times\frac{\left(\frac{X}{X-Y}\right)^{n-1}-1}{\frac{Y}{X-Y}}+\frac{S}{X}\\&\\&=T\left[\left(\frac{X}{X-Y}\right)^{n-1}-1\right]+\frac{S}{X}\end{align*}\]

……博客园的数学公式真难看

这个时候答案已经得出来了，最后只需要把它变成代码即可（咦，我怎么记得我已经在博客园上传了SyntaxHighlighter来着，怎么文件都不见了）。建议呢还是自己打一遍，因为解题的所有思路都在上面了嘛。

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int T;
double x, y, t, s;
double time;
int n;

int main() {
    scanf("%d", &T);
    for (int kase = 1; kase <= T; ++kase) {
        printf("Case #%d: ", kase);
        scanf("%lf%lf%lf%lf", &x, &y, &t, &s);
        if (x > y && t * y < s) {
            n = ceil(log(s / (y * t)) / log(x / (x - y)));
            time = t * (pow(x / (x - y), n - 1) - 1) + s / x;
            printf("%.3lf\n", time);
        } else printf("%.3lf\n", s / x);
    }
    return 0;
}