从对均不等式到函数的凹凸性

0x01 对均不等式

对均不等式 \(\text{(Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities)}\) 又被称为奥利给不等式^[1]，是高中数学中的常用不等式，多用于放缩和极值点偏移.

对 \(0 < a < b\) 有

\[\sqrt{ab} < \dfrac {a - b} {\ln a - \ln b} < \dfrac {a+b} 2 \]

其证明可用比值换元，将原式化为只含一个未知数的不等式，借助导数即可证明.

证

不妨设 \(t = \dfrac b a > 1\)，则原式等价于：

\[\sqrt t < \dfrac {t - 1} {\ln t} < \dfrac {t+1} 2 \]

设 \(f(x) = \ln x - \sqrt x + \frac 1 {\sqrt{x}} \ (x>1)\)，则

\[f'(x) = \dfrac {2\sqrt{x} - x - 1} {2x \sqrt{x}} = \dfrac {-(\sqrt x - 1)^2} {2x \sqrt{x}} < 0 \ \Rightarrow \ f(x) < f(1) = 0 \ \Leftrightarrow \ \sqrt x < \dfrac {x-1} {\ln x} \]

设 \(g(x) = 2 (x-1) - (x+1)\ln x \ (x>1)\)，则 \(g'(x) = 1 - \ln x - \dfrac 1 x\)，进而有

\[g''(x) = \dfrac {1-x} {x^2} < 0 \ \Rightarrow \ g'(x) < g'(1) = 0 \ \Rightarrow \ g(x) < g(1) = 0 \ \Leftrightarrow \ \dfrac {x - 1} {\ln x} < \dfrac {x+1} 2 \]

\(\mathrm{Q.E.D.}\)

0x02 哈达玛不等式

哈达玛不等式 \(\text{(Hadamard's inequality)}\) 比对均不等式更加一般化，故解决极值点偏移时泛用性更强，也更接近

当 \(x \in (a, b)\) 时，若 \(f'''(x) > 0\) 恒成立，则对 \(a < x_1 < x_2 < b\) 有

\[f'\left( \dfrac {x_1+x_2} 2 \right) < \dfrac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} < \dfrac {f'(x_1)+f'(x_2)} 2 \]

当 \(f'''(x) < 0\) 时，不等号反向.

证

令 \(m = \dfrac {x_1+x_2} 2 ,\ n = \dfrac {x_2 - x_1} 2\)，则有 \(m > n > 0\).

则原不等式等价于

\[f'(m) < \dfrac {f(m+n)-f(m-n)} {2n} < \dfrac {f'(m-n)+f'(m+n)} 2 \]

先证左半部分，以 \(n\) 为主元，构造 \(F(n) = 2nf'(m) - f(m+n) + f(m-n)\)，可得

\[\begin{cases} F'(n) = 2f'(m) - f'(m+n) - f'(m-n) \\ F''(n) = - f''(m+n) + f''(m-n) \\ F'''(n) = -f'''(m+n) - f'''(m-n) \end{cases} \]

则

\[F'''(n) < 0 \ \Rightarrow \ F''(n) < F''(0) = 0 \ \Rightarrow \ F'(n) < F'(0) = 0 \ \Rightarrow \ F(n) < F(0) = 0 \ \Leftrightarrow \ f'(m) < \dfrac {f(m+n)-f(m-n)} {2n} \]

再证右半部分，同理，构造 \(G(n) = f(m+n) - f(m-n) - nf'(m+n) - nf'(m-n)\)，得

\[\begin{cases} G'(n) = - nf''(m+n) + nf''(m-n) \\ G''(n) = - f''(m+n) + f''(m-n) - nf'''(m+n) - nf'''(m-n) \end{cases} \]

由 \(f'''(x) > 0\) 可知 \(f''(m+n) > f''(m-n)\)，则

\[G''(n) < 0 \ \Rightarrow \ G'(n) < G'(0) = 0 \ \Rightarrow \ G(n) < G(0) = 0 \ \Leftrightarrow \ \dfrac {f(m+n)-f(m-n)} {2n} < \dfrac {f'(m-n)+f'(m+n)} 2 \]

\(\mathrm{Q.E.D.}\)

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观察以上证明过程，不难发现两条证明有异曲同工之妙，这是因为两不等式的临界条件均为两未知数相等.

我们通过换元等方式，将不等式转化为自变量取值存在边界时函数的取值问题，则可借助导数求解.

事实上，对均不等式即哈达玛不等式在 \(f(x) = e^x\)，\(x_1 = \ln a\)，\(x_2 = \ln b\) 时的特例.

0x03 函数的凹凸性

// TODO

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1. 对均不等式的英文缩写 \(\text{ALG}\) 分别对应“奥利给”三字的拼音首字母，故因此得名. ↩︎