《线性代数及其应用》笔记四
Chapter4 向量空间
概述
从向量空间的角度,思考应用，体会线性代数的美和力量。
本章内容：
1、向量空间的基本定义；
2、多种向量空间；
3、秩；
4、应用：离散信号、差分方程、马尔科夫链；
4.1 向量空间和子空间
向量空间的定义
定义 一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合V，在这个集合上定义加法和标量乘法，服从以下公理。这些公理必须对V中所有向量u,v,w及所有标量c,d均成立。
1.u,v之和表示成u+v，仍在V中；
…
4.V中存在一个零向量0，使得u + 0 = u；
…
6.u与标量c的标量乘法记为cu，仍在V中；
…
特别地，这里的“称为向量的对象”不仅仅限于R(n)中实数向量，也可能是离散数据序列、实系数多项式、实函数等。
子空间的定义
包含零向量、加法封闭、乘法封闭
由一个集合生成的子空间
描述子空间最常用的方法：Span{v1,v2,…,vp}生成（张成）子空间。
4.2 零空间、列空间和线性变换
零空间 Null A
定理2 mxn矩阵A的零空间是R(n)的一个子空间，等价地，m个方程、n个未知数的齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合是R(n)的一个子空间。
1、Null A中的向量与A中的数值之间没有明显的关系，我们称Null A被隐式地定义。
2、Null A的生成集必然是线性无关的，这是因为自由变量是生成向量上的权。
3、Null A的生成集中向量的个数等于方程Ax=0中自由变量的个数。
列空间 Col A
Col A = Span{a1,…,an}
定理3 mxn矩阵A的列空间是R(m)的一个子空间。
线性变换的核与值域
对于线性变换T
核-满足T(u)=0的向量u的集合
值域-具有形式T(x)的向量的集合
特别的，线性变换中强调的线性必须满足加法和标量乘法的封闭性，线性变换的定义基于向量空间，这里的“向量”范围扩大化了。
矩阵变换只是线性变化的一种特殊情况，且所有的矩阵变换都是线性变换。即T(x) = Ax
4.3 线性无关集和基
一般向量空间中的线性相关和R(n)中的线性相关的主要不同点在于当向量不是n元数组时，齐次方程通常不能被写成一个n元线性方程组，所以，只能依赖线性相关的定义和一般向量空间定理。
基
定义： 令H是向量空间V的一个子空间，V中向量的指标集B={b1,…,bp}称为H的一个基，如果：
1、B是一个线性无关集；
2、由B生成的子空间与H相同，即H=Span{b1,…,bp};
一个基是一个不包含不必要的向量的“高效率”的生成集，事实上，一个基可以通过由一个生成集中去掉不需要的向量构造出来。一个基是一个尽可能小的生成集，同时还是尽可能大德线性无关集。
Nul A和Col A的基
由于矩阵的行初等变换不影响矩阵的列的线性相关关系，因此，简化后具有完全相同的线性相关关系。但，矩阵的列经过变换后已经完全不同了，所以：
定理6 矩阵A的主元列构成Col A的一个基
警告：对Col A的基，要慎重使用A本身的主元列，阶梯型的主元列已经不再A的列空间中了。
4.4 坐标系
坐标系，给向量空间一个新的视野。
定理7 唯一表示定理
令B = {b1,…,bn}是向量空间V的一个基，则对V中每一个向量x，存在唯一的一组数c1,…,cn使得
x = c1*b1 + …+ cn*bn
坐标的几何意义
本质上，一个集合上的坐标系是由此集合中点到R(n)中的一一映射组合。集合的基构成的矩阵便是从该集合到R(n)中标准基的坐标变换矩阵。
4.5 向量空间的维数
定义
若V由一个有限集生成，则V称为有限维的，V的维数写成dimV，是V的基中含有向量的个数。
定理12 基定理（略）
Nul A和Col A的维数
Nul A的维数是方程Ax=0中自由变量的个数，Col A的维数是A中主元列的个数。
4.6 秩
行空间
行变换对矩阵的行不保持线性相关关系。
与Col A不同，Row A和Nul A的基与A中的数没有简单的联系。
定理14 秩定理
mxn矩阵A的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数（即A的秩）还等于A的主元位置的个数，且满足方程
rank A + dim Nul A = n
4.7 基的变换
[x](c) = P * [x](b)
其中P的列是基b中向量的c-坐标向量。
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