《线性代数及其应用》笔记三

Chapter3 行列式

概述

行列式是一个数，它由一些数字按一定方式排成的方阵所确定。

本章内容：

1、行列式的介绍；

2、行列式的性质；

3、克拉默法则、体积和线性变换；

 

3.1 行列式的介绍

行列式的标准定义采用递归的方式给出：

定义：当n>=2，nxn矩阵A=[aij]的行列式形如+(-)a1jDetA1j的n个项的和，其中加号和减号交替出现，这里元素a11,a12…a1n来自A的第一行，即：

DetA = a11*DetA11 – a12*DetA12 + … + (-1)^(1 + n)a1n * DetA1n

将行列式按余因子展开式写出，等到定理1：

定理1 nxn矩阵A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算，

按第i行展开可写成：|A| = ai1Ci1 + … + ainCin

按第j列展开可写成：|A| = a1jC1j + … + anjCnj

从行列式的定义可等到定理2，非常有用

定理2 若A为三角阵，则DetA等于A的主对角线上元素的乘积。

 

3.2 行列式的性质

行列式的奥秘在于当做行变换时它如何变化。

定理3 行列式行变换

令A是一个方阵

a.若A的某一行的倍数加到另一行得到矩阵B，则DetA=DetB；

b.若A的两行互换得矩阵B，则DetA=-DetB；

c.若A的某行乘以k倍得到矩阵B，则DetB=k*DetA；

若一个方阵A被行倍加和行交换化简为阶梯形U，则 DetA=(-1)^(r)  * DetU

从而有:

定理4 方阵A是可逆的，当且仅当DetA != 0

该定理将矩阵的逆与行列式联系起来，作为本节的主要定理。

行列式与矩阵乘积

定理6 若A和B均为nxn方式矩阵，则Det(AB) =DetA * DetB；

行列式除满足乘法性质DetA^(T) = DetA外，行列式函数还具有一个线性性质。

以上定理的证明依赖于nxn初等矩阵的行列式，有：

Det(E) = 1  若E是一个行倍加

              -1 若E是一个交换

              r 若E是一个r倍乘

 

 

3.3 克拉默法则、体积和线性变换

定理7 克拉默法

设A是一个可逆的nxn矩阵，对R(n)中任意向量b，方程Ax=b的唯一解可由下式给出

x(i) detA[i](b)/detA

由此获得一个求A的逆的公式

A^(-1) = adjA / detA

对于一个很大的矩阵，克拉默法则是无效的

克拉默法则也是一个理论工具，它习惯于用来研究当b或A中某数值改变时，Ax=b的解如何敏感的变化。

用行列式表示面积和体积

定理9

若A是2x2矩阵，则由A的列确定的平行四边形的面积为|detA|，若A是3x3矩阵，则由A的列确定的平行六面体的体积为|detA|