《线性代数及其应用》笔记二

Chapter2 矩阵代数

概述

当需要处理涉及两个或更多个矩阵的线性代数问题，或处理大规模方程组时，需要使用矩阵代数作为工具。

本章内容：

1、矩阵运算；

2、逆矩阵；

3、分块矩阵和矩阵分解；

4、子空间、维数、秩

 

2.1 矩阵运算

1、矩阵乘法

事实：AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对于列的元素为权。

AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A德对应行的元素为权。

2、计算AB的行列法则

3、矩阵乘法的性质

4、乘幂、转置

 

2.2 矩阵的逆

定义：一个nxn矩阵（方阵）是可逆的，若存在一个nxn矩阵C使

AC = I 且 CA = I

称C是A的逆阵。

应用逆矩阵求解矩阵方程（理论上）

定理5 若A是可逆nxn矩阵，则对每一R中的b，方程Ax = b有唯一解 x = A^(-1)b

该公式很少用来求解方程Ax=b，因为[A b]的行变换通常更快。当然对于2x2矩阵是个例外。

定理7 nxn矩阵A是可逆的，当且仅当A行等价于I，这时，把A变成I的一系列初等行变换同时把I变成A^(-1)

由定理7获得一个求解逆矩阵算法：

把增广矩阵[A I]进行行化简，若A行等价于I，则[A I]行等价于[I A^(-1)]，否则没有逆。

 

 

2.3 可逆矩阵的特征

定理8 可逆矩阵定理（略）

可逆矩阵将线性方程组、线性关系、向量方程等联系了起来，在往后的章节里还会往该定理中添加更多的特征。

 

2.4  分块矩阵

使用水平线和竖直线将矩阵分块，可简化许多讨论，也使矩阵的本质显露出来。

 

分块矩阵的乘法

有关矩阵乘法的5种观点：

1、使用A的列来给出Ax的定义；（A的各列的线性组合）

2、AB的列的定义；（用B的列对A做线性组合）

3、A的行与矩阵B的乘积作为AB的行；（用A的行对B做线性组合）

4、计算AB的行列法则；（内积公式）

5、AB的列行展开；（A的单独列和B的单独行的内积的和）

分块矩阵的逆的公式（略）

 

2.5 矩阵因式分解（略）

矩阵乘法是数据的综合，矩阵因式分解是数据的分解。