《线性代数及其应用》笔记一

Chapter 1、线性代数中的线性方程组

概述：

 

线性方程组是线性代数的核心，并由此引出线性代数中的诸多概念和理论。

本章内容：

1、介绍求解线性方程组的一个系统方法（行化简和阶梯型矩阵）；

2、研究线性方程组的等价性（与向量方程、矩阵方程），并把向量的线性组合问题转化为线性方程组的问题；

3、线性表示、线性无关、线性变换的基本概念；

本章的核心在于理解行化简和线性方程组的等价性。

1.1-1.2 解线性方程组

 

解线性方程组的一般方法：基本的思路是把方程组用一个更容易理解的等价方程组（即有相同解集）代替。

事实：若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

行化简算法（消去法）可用来解任意线性方程组。

定理1：每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

线性方程组的解表示法：解集的参数表示法

存在与唯一性问题

定理2：(存在与唯一性定理）

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。

若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：1、当没有自由变量时，有唯一解；2、若至少有一个自由变量，有无穷多解；

总结：

消去法使用了线性方程组行化简等价的事实，这个不难。核心在于理解线性方程组解得结构和存在与唯一性问题。依据是定理2。

 

1.3-1.4 向量方程和矩阵方程

向量方程：

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合{v1,v2..vp}的线性组合的所有向量。

结论：

向量方程 x1a1 + x2a2 + …+ xnan = b和增广矩阵为[a1 a2 … an b]的线性方程组有相同的解集。特别地，b可以表示为a1,a2..an的线性组合，当且仅当增广矩阵对应的方程组有解。

span{v1,v2} 定义：v1,v2的所有线性组合所成的集合。

由此，线性方程、向量方程、span{v1,v2}完美统一。

 

矩阵方程Ax = b

线性代数中的一个基本思想是把向量的线性组合看做矩阵与向量的积。

A与x的积：A的各列以x中对应元素为权的线性组合。

结论：

矩阵方程 Ax = b

与向量方程x1a1 + x2a2 + … xnan = b有相同的解集。

它又与增广矩阵为 [a1 a2 … an b] 的线性方程组有相同的解集。

解的存在性

事实：方程Ax=b有解当且仅当b是A的各列的线性组合。

 

 

统一线性方程组、向量方程、矩阵方程性质

定理4：

设A是mxn矩阵，则下列命题是逻辑上等价的，同时成立或同时不成立：

1、对R(n)中的每个b，方程Ax = b有解；（矩阵方程）

2、R(m)中的每个b都是A的列的一个线性组合；（向量方程）

3、A的各列生成R(m);（span{A(j)}）

4、A在每一行都有一个主元位置；（线性方程组）

 

 

 

1.5 线性方程组的解集（向量符号显性表示）

齐次线性方程组（Ax = 0形式）

至少有一个解，即x = 0 (R(n)中的零向量)，平凡解

事实：齐次方程Ax = 0有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。

齐次方程Ax = 0总可表示为span{v1,…,vp}，其中v1,…,vp是适当的解向量。若唯一解是零向量，则解集就是span{0}。

参数向量形式：x = su + tv(s,t为实数，u,v为向量)

 

 

 

非齐次线性方程组

参数向量形式：x = p + tv(p为特解，t为实数，v为向量)

总结：

把相容方程组的解集表示成参数向量形式步骤（略）

 

 

 

1.7-1.9 线性无关、线性变换

线性关系本质上是从向量方程的角度考虑齐次线性方程组的解得存在与唯一性问题。

线性无关

定义：R(n)中一组向量{v1,…,vp}称为线性无关，若向量方程

x1v1 + x2v2+…+xpvp = 0

仅有平凡解。

向量组（集）{v1,…,vp}称为线性相关的，若存在不全为零的权c1,…,cp，使

c1v1 + c2v2+…+cpvp = 0

若从矩阵各列的角度考虑，得到以下事实：

事实：矩阵A的各列线性无关，当且仅当方程Ax = 0仅有平凡解。

特殊地，两个向量的集合是否线性相关，当且仅当两个向量是否有倍数关系。

两个或更多个向量的集合，得到线性相关集的特征

定理7 （线性相关集的特征）

两个或更多个向量的集合S = {v1,v2,…,vp}线性相关，当且仅当S中至少有一个向量是其他向量的线性组合，事实上，若S线性相关，且vi != 0, 则某个vj是它前面几个向量v1,…,v(j - 1)的线性组合.

注解：线性相关只是要求其中任何一个向量存在相关性即可，不要求所有向量都相关。且，向量集合中若存在零向量，则整个向量集合必然线性相关。

表面上的，可得到一些推论，比如：

事实：若一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数，那么这个向量组线性相关。

 

 

线性变换介绍

从应用角度考虑Ax = b，可理解为：把矩阵A当做一种对象，它通过乘法“作用”于向量x，产生的新向量称  为Ax

新视角：解方程就是要求出所有经过乘以A的作用后变成b的向量x

由此，引出向量集函数的概念:T(x)

定义：变换（或映射）T称为线性的，若

1、对T的定义域中一切u, v，T(u + v) = T(u) + T(v)；

2、对一切u和标量c，T(cu) = cT(u)；

线性变换保持向量的加法运算和标量乘法运算。

推论：若T是线性变换，则T(0) = 0，且对T的定义域中一切向量u和v以及数c和d有：

T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)

 

线性变换的矩阵

每一个线性变换实际上都是一个矩阵变换x->Ax，而且变换的性质归结归结为A的性质。

寻找矩阵A的关键，是了解T完全由它对单位矩阵I的各列的作用所决定。

定理10 设T为线性变换，则存在唯一的矩阵A，使 T(x) = Ax，对R中的一切x

事实上，A是mxn矩阵，它的第j列是向量T(ej)，其中ej是单位矩阵I的第j列

有：A = [T(e1), T(e2), …,T(en)]

常使用该方法求解T的标准矩阵A

注解：术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

 

 

从线性变换的角度理解方程组的解的存在与唯一性问题

解的存在性与唯一性转化为映射函数的映射关系问题，有：

定理11 设T为线性变换，则T是一对一当且仅当方程Ax = 0仅有平凡解。

 

总结：

本章的重点在于从不同角度理解解的存在性与唯一性问题，分别是线性方程组、向量方程、矩阵方程和线性变换，并将以上各种视角统一。

了解线性无关、线性矩阵和线性变换的基本概念，线性变换将在下个章节着重学习。