第四章作业

删数问题分析

1. 贪心策略
   从左向右扫描数字字符串，维护一个单调非递减栈。遍历过程中，如果栈顶数字大于当前待处理数字，删除栈顶字符（待删除次数k减1），重复该操作直到栈顶数字小于等于当前数字或者k等于0，再将当前数字入栈。字符串遍历结束后，如果k仍然大于0，说明剩余序列已经单调递增，直接删除末尾k个字符。最后去掉结果中的前导0，若结果全为0则输出0。

2. 贪心选择性质证明（反证法）
   设原数字串为s，找到第一个满足s[i]>s[i+1]的位置i，贪心选择为删除s[i]。假设不存在任何全局最优解包含该贪心选择，即所有最优方案都不删除s[i]。
   情况一：最优解删除的位置j在i之前。由于i是第一个s[i]>s[i+1]的位置，下标0到i之间的数字单调不减，删除前面位置的字符无法得到更小的数，该方案不可能优于删除s[i]的方案，矛盾。
   情况二：最优解删除的位置j在i之后。我们构造一个新方案，将原最优解中删除j改为删除i，其余删除位置保持不变。因为s[i]处于更高位且s[i]>s[i+1]，替换之后得到的数字会比原最优解更小，和原方案是最优解的前提矛盾。
   综上假设不成立，一定存在全局最优解包含本次贪心选择，该算法满足贪心选择性质。同时原问题的最优解包含子问题的最优解，满足最优子结构。

3. 时间复杂度分析
   设字符串长度为n，每个字符最多入栈一次、出栈一次，入栈和出栈操作总共最多执行n次。整体时间复杂度为O(n)；栈存储结果，空间复杂度为O(n)。

4. 对贪心算法的理解
   贪心算法在每一步选择当前局部最优的方案，通过一系列局部最优选择最终得到全局最优解。贪心算法成立需要两个条件：贪心选择性质和最优子结构。贪心算法计算效率高，不需要枚举所有状态；但它有很强的局限性，不是所有问题都适合贪心求解，使用前必须证明贪心选择性质，仅凭直观想法容易出错。例如0-1背包问题就不满足贪心选择性质，不能使用贪心，需要动态规划求解。