第三章作业

最低通行费 动态规划分析报告

题目核心条件梳理：N×N网格，起点(1,1)在左上角，终点(N,N)在右下角；只能上下左右移动；必须在2N-1个时间内到达。每穿过一个小方格耗时1个时间单位，2N-1个时间意味着路径只能向右、向下走，不能回头（即不能向左、向上）。理由如下：从(1,1)到(N,N)，最少步数就是向右N-1次加向下N-1次，一共2N-2步，恰好经过2N-1个格子；一旦向上或向左移动，总步数就会超过2N-1，必然超时。所以合法路径等价于只向右、向下移动。

1.1 递归方程、状态定义与边界条件

（1）状态定义
设dp[i][j]表示从起点(1,1)走到格子(i,j)所需的最小总通行费。
设a[i][j]表示格子(i,j)本身的费用。

（2）最优子结构分析
要到达格子(i,j)，只可能来自两个位置：一是上方格子(i-1,j)，向下走一步过来；二是左方格子(i,j-1)，向右走一步过来。取这两条路径费用的最小值，再加上当前格子(i,j)的费用，就得到dp[i][j]。

（3）递归方程
dp[i][j] = min( dp[i-1][j] , dp[i][j-1] ) + a[i][j]

（4）边界条件
第一，起点：dp[1][1] = a[1][1]，即起点只有自身的费用。
第二，第一行（i=1，j>1）：上方没有格子，只能从左边的格子过来，所以 dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[1][j]。
第三，第一列（j=1，i>1）：左边没有格子，只能从上方的格子过来，所以 dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1]。

说明：题目限制2N-1时间，天然屏蔽了向上、向左的路径，因此状态转移中不需要额外判断是否超时，转移方程本身就满足时间约束。

1.2 填表维度、填表范围、填表顺序与原问题最优值

（1）表的维度
使用二维数组 dp[N+1][N+1]，下标从1开始，方便处理边界，避开下标0。

（2）填表范围
i从1到N，j从1到N，即整张N×N的表都要填。

（3）填表顺序
按行优先顺序填表，即从上到下、每行内部从左到右。具体为：先填第一行，再填第一列；随后依次遍历i=2,3,到N，对每一个i，j从2到N。这样能保证计算dp[i][j]时，它依赖的上方dp[i-1][j]和左方dp[i][j-1]都已经算好。也可按斜对角线（同一步数层）填表，但行优先最简单，适合本题。

（4）原问题最优值
原问题的最优值就是 dp[N][N]，即走到右下角终点所需的最小总费用。

1.3 时间复杂度和空间复杂度

（1）时间复杂度：O(N的平方)
一共有N乘N个状态，每个状态只做一次min比较和一次加法，都是常数操作。题目中N小于100，规模很小。

（2）空间复杂度
使用朴素二维dp时，需要N乘N的dp表，复杂度为O(N的平方)；可以优化为滚动数组，压缩到一维，复杂度降为O(N)。考试作答一般写二维即可。

二、对动态规划算法的理解和体会

动态规划的核心是把大问题拆分成互相重叠的子问题，利用最优子结构和无后效性，避免暴力枚举所有路径。本题如果暴力搜索，会枚举大量路径，随着N增大路径数量会指数爆炸；而动态规划把每个位置的最优解记录下来，每个位置只需计算一次。

本题的关键点，是读懂时间限制背后隐藏的移动约束：题目表面上允许上下左右四个方向移动，实际上因为时间限制，只能向右和向下走，这才确定了状态转移的来源只有两个。

本题体现的最优子结构是：走到(i,j)的最优路径，一定由走到上方格子或左方格子的最优路径延伸而来。体现的无后效性是：dp[i][j]只依赖左边的格子、上边的格子，不关心之前具体是怎么走过来的。

填表顺序非常关键，必须保证当前格子依赖的格子已经先计算完成。总的来说，动态规划的本质是用空间换时间，把子问题的答案存起来重复利用，从而降低时间复杂度。做题时不能直接套公式，要先挖掘题目里隐藏的约束条件，再定义状态，再写出转移方程。