分治、贪心、线性规划、动态规划、网络流为计算机学科常用的五大算法
大部分面试题都喜欢考动态规划，因为它不像线性规划、网络流算法那样直接套用，本身其没什么套路，都要现场分析现场建模，属于思维量大代码量小
现在尝试把这类问题用一个比较通用的模型给分析出来，以后再遇到这类问题希望可以直接套用
1. 动态规划（DP）的本质
动态规划介于贪心和NPC问题之间：它既不像贪心模型那样每一步都是最优解，也不像NPC问题那样每一步都不能确定只能穷举
能用动态规划求解的问题具有这样一种特征：在已经求解出 i - 1 规模的子问题的基础上，可以求解 i 规模的子问题
每次使用动态规划我都会被这个问题所困扰：后面新加入的元素到底会不会造成这次最优解无效？如果顺着这一思维陷阱下去，问题规模最后会变成指数级递增变成NPC问题
这也就是上面说的特征，我们只要能求出现有阶段的最优解，并且证明该解是有效的，这个DP方程完全成立，至于后来问题会不会干扰本次求解是后面需要考虑的问题
那么这时候会出现一个问题：局部最优解一定是全局最优解么？当然不是，我们在规模 i 下解出的最优解只能算局部最优解，他的意义是：如果问题到此为止，我们已经解出所有可能的最优解
2. DP问题为什么可以利用之前的最优解进行迭代
举一个整形线性规划的问题：输入为X=01011..，输出为F(X)，求F的最大值。我的F()为黑盒，你无法判断X的某一位取0/1到底对最后结果有什么影响，这个问题没有办法迭代，只能指数级遍历
DP问题就不一样了，我们不需要知道问题的所有规模，我们只要知道之前规模情况下的解，在引入 i 之后可以利用之前的状态进行迭代计算
所以说，这个是由问题的本身特征决定的，该问题可以计算出部分规模的解
3. DP统一的参考性模型
尝试把DP问题归一化，提取出某些特征找出一个统一的解法
1）首先假设我们这个问题可以用DP求解。（其实满足以上讨论的条件，而分治和贪心又难以解决，可以确定是DP了）
2）划分问题。划分的时候一定要满足这样的特性：我们需要在完成 i - 1 的条件下完成 i ，并该次求解不能破坏之前已经求解的所有最优解，不要考虑对之后的影响，之后自有办法（一般从规模为 1 往后加到 N 为止）
3）决策过程。这部分要求我们写出DP的状态转移方程，也是最灵活，最烧脑的部分，可以分几步部分进行
设当前处理的单位为cur
a. 首先考察：加 1 个单位规模之后对问题全局的影响，也就说我们的全局最优解OPT是否与本次计算独立
不独立：OPT = DP[ i ]
独立：OPT = max {DP[ 0]，DP[ 1 ]...DP[ i ]}
这个意思就是，我们所求的最优解是否包含了对cur的处理，cur本身是OPT的一部分，比如，对一串字符串的每个字符都进行处理，要计算OPT每个cur都要计算在列，这种问题是不独立的
不独立的情况也容易判断：某次的DP对OPT可能有贡献，也可能有它没它根本没有关系，比如，所有的挑选类问题，挑选若干个单位，OPT只是和部分单位相关，这种问题属于独立
b. 真正的难点从这里开始，我们加入了一个新的单位cur，需要找出与之关联的之前所有的状态集合
什么意思呢，我们的所有问题都是有约束的，前面已经说了在计算cur之前我们已经找到满足问题约束的所有最优解，那么加入了cur很显然会打破这一平衡
要让它重新满足约束条件，我们必须增加额外的转移消耗，这些转移消耗最终都计算在DP[ i ]内，而从哪些状态集合转换过来是我们需要考虑的
也就是说，加入了cur之后，和之前的哪些状态一起打破了问题的约束条件，我们需要找出所有之前的状态
这里多说一句，前面2）说过不用考虑当前对之后的影响，是因为之后会在这里考虑前面哪些状态对自己的影响
这里比较抽象，我多举一些例子：抢劫问题，连续两个房间不能被选中，那么cur状态就和 cur - 1 状态相关联；字符串回文划分，cur和之前所有可能的状态相关联；
二维DP[ i ][ j]与DP[ i - 1 ][ j ]以及DP[ i ][ j - 1 ]相关联；挑选出某些单位满足条件，cur单位与之前所有状态相关联
c. 找到相关联单位的集合{pred(i)}之后，cur的加入与这些单元会产生矛盾，需要在外力F作用下进行转换，DP[ i ]满足这样的条件：
给定一个pred(i)
DP[ i ] = F (DP[pred(i)])
这个式子的意思是，cur在F的作用下使用pred(i)计算DP[ i ]，把F具体点，分为两种：
DP[ i ] = DP[pred(i)] + trans
DP[ i ] = C
就是说cur可以在pred(i)的基础上加一个trans复杂度的处理可以满足约束条件
或者直接是一个常数C表示无法从pred(i)转换，cur和pred(i) 不共存，DP[ i ]仅由cur贡献
d. 对所有pred(i)进行以上操作，找到一个最优DP[ i ]，这个DP[ i ]一定是目前cur的最优解，然后再将cur = cur + 1，迭代计算
e. 回到a，根据我们求解的所有DP，根据问题类型选择OPT模型
4. 总结
总结以上通用处理模型：
1）对问题的划分（i - 1规模，i 规模）
2）决策，考察问题特性选择OPT方程
找到与当前状态cur相关的集合{pred(i)}
对所有pred(i)求解DP[ i ] = pred(i) -> cur ，找出最优DP[ i ]
这套框架是我之前遇到的所有DP问题的一个抽象，应该能应付大部分问题，后续有新的内容再进行补充
