问题描述：

       有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

问题分析：       

        这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}。复杂度是O(V*Σn[i])。

一维法:

    public static int MultiplePack1(int W, int[] w, int[] v, int[] num) {
        int n = w.length - 1;// 第一个值，不算
        int[] f = new int[W + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = W; j >= w[i]; j--)
                for (int k = 0; k <= num[i] && j - k * w[i] >= 0; k++) {
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j - k * w[i]] + k * v[i]);
                }
 
        return f[W]; // 最优解
    }

 

二进制优化做法：

首先，可以把它转化为一个01背包的问题。每个物品有s件，我们可以把它差分成s份，每份物品当做不同的个体，即只能选一次，这就转化为了01背包物品，但是这样的话，复杂度还是很大。

        继续优化，一个物品的数量是s的话，只要把s拆分成一些数字，使它们能够表示出1-s中任意一个数字，就可以，没必要把它拆成s个1。

        那么这样的数字最少需要多少个呢？最少需要log(s)个，向上取整。比如7，它最少需要3个数字来表示：
即 1（2^0=1 ）， 2（2^1=2）， 4（2^2=4）。原因：每个数字有2种可能选或不选，那么可以表示的不同数字个数就是 2 * 2 * 2 = 8。但是还需要注意一个问题，就是有些数字可能能够表示出来一些大于s的数字，但是这件物品最多只有s件，那么就需要特殊处理一下最后一个数。
        比如10，若用1，2， 4， 8表示，可能会表示出来大于10的数字，例如：4+8=12。那么如果最后一个数字加上前面数的总和会大于s，就将它替换为剩下的物品个数，即将8替换为3，这时正好能表示出1-s所有的数，-> 1, 2，4可以表示7以内的所有数，这些数加上3就可以表示10以内的所有数啦。
（参考背包九讲）

  一维法（二进制优化）：

public static int MultiplePack2(int W, int[] w, int[] v, int[] num) {
        int n = w.length;
        int[] f = new int[W + 1];
        int[] vv = new int[n*W];
        int[] ww = new int[n*W];
        // 复制w和v
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            vv[i] = v[i];
            ww[i] = w[i];
        }
        k = n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            s = num[i]
            for(int i=1;i<=s;i*=2)   //二进制优化
                vv[k]=v[i]*i,ww[k++]=w[i]*i,s-=i;
            if(s>0)
                vv[k]=v[i]*s,ww[k++]=w[i]*s;
        }
 
        for (int i = 1; i <= k; i++)  //01背包
            for (int j = W; j >= ww[i]; j--)
                        f[j] = Math.max(f[j], f[j - ww[i]] + vv[i]);
 
        return f[W]; // 最优解
    }