计算方法5 图的代数性质

感觉这部分穿插的有些怪

upd：最后两节课突然就悟了，因为tcs组主要是做这个的...看了看感觉就是硬广，那就学着吧。

Courant-Fischer

对于实对称矩阵 \(A\)，其最大特征值 \(\lambda_\max(A)\geq \frac{x^\intercal Ax}{x^\intercal x}\)，其中 \(x^\intercal x\neq \bold 0\)

图的代数性质

即对于给定的图 \(G\)，通过观察 \(G\) 的邻接矩阵/拉普拉斯矩阵的性质来获得某些 \(G\) 的性质。

邻接矩阵

记为 \(A\)，规定 \(A_{x,y}=[xy\in E(G)]\)，其中 \([\cdot]\) 为指示函数。

\(A\) 还可以写成如下形式

\[A=\sum_{xy\in E(G)} A^{(xy)} \]

其中 \({A^{(xy)}}_{x,y}=1\) 其余位置皆为 \(0\)。即一张图的邻接矩阵可以由所有的边的邻接矩阵拼起来。

显然，对于无向图而言，\(A^\intercal=A\)

特征值

\(\lambda_\max(A_G)\leq d_\max(G)\)

不妨设最大特征值为 \(\lambda\)，属于 \(\lambda\) 的特征向量 \(x\) 的绝对值最大的分量为 \(x_i\)（不妨设 \(x_i>0\)），那么有

\[\lambda x_i=(\lambda x)_i=(Ax)_i=\sum_{j=1}^n A_{i,j}x_j\leq x_i\sum_{j=1}^n A_{i,j}=d(i)x_i \leq d_\max(G) x_i \]

\(\lambda_\max(A_G)\geq d_{\text{avg}}(G)\)

只需要用到前置中的定理，令 \(x=(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}\ldots \frac{1}{\sqrt{n}})^\intercal\) 即可。

二分图

若 \(G\) 为二分图，则其邻接矩阵 \(A\) 为

1. 对称阵，\(A^\intercal =A\)。
2. 分块矩阵，有 \(\begin{bmatrix}0 & B \\ B^\intercal & 0\end{bmatrix}=A\)。这是因为存在点集 \(V(G)\) 的划分 \(\set{U,V}\) 使得 \(V,U\) 的内部没有边，即邻接矩阵存在子矩阵为全 \(0\) 矩阵。

对于二分图，若 \(\lambda\) 为邻接矩阵 \(A\) 的 \(k\) 重特征值，那么 \(-\lambda\) 必然也为 \(A\) 的 \(k\) 重特征值。

证明：

不妨设属于 \(\lambda\) 的特征向量为 \(v=\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}\)，那么有 \(Av=\lambda v\)，即 \(\left\{\begin{aligned}By&=\lambda x\\B^\intercal x&=\lambda y\end{aligned}\right.\)

此时构造 \(v'=\begin{bmatrix}x\\-y\end{bmatrix}\)，那么有 \(Av'=\begin{bmatrix}-By\\B^\intercal x\end{bmatrix}=-\lambda\begin{bmatrix}x\\-y\end{bmatrix}\)，这说明 \(v'\) 是属于特征值 \(-\lambda\) 的特征向量。

当 \(\lambda\) 重数为 \(k\) 时，有 \(k\) 个属于 \(\lambda\) 的线性无关的特征向量，这 \(k\) 个分别取反就得到了 \(k\) 个属于 \(-\lambda\) 的特征向量。

反之，若按顺序排布特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\ldots \lambda_n\)，有 \(\forall i, \lambda_i=-\lambda_{n-i+1}\) 成立，那么 \(G\) 是二分图。

证明：

对于任意的奇数 \(k\)，有

\[tr(A^k)=\sum_{i=1}^n {\lambda_i}^k=\frac12\sum_{i=1}^n \left({\lambda_i}^k + {\lambda_{n-i+1}}^k\right)=0 \]

考虑 \((A^k)_{i,j}\)，其组合含义为 \(i,j\) 点对之间长度恰为奇数 \(k\) 的路径数量。根据矩阵迹的定义又有：

\[tr(A^k)=\sum_{i=1}^n (A^k)_{i,i}=0 \]

由于 \(A\) 所有元素非负，因此 \(\forall i, (A^k)_{i,i}=0\)，这说明对于任意奇数长度的圈，图 \(G\) 中都不存在。这恰好是二分图的充要条件。

拉普拉斯矩阵

也叫调和矩阵，在矩阵树定理里面叫做基尔霍夫矩阵。

规定 \(L=D-A\)，其中 \(D=\text{diag}\{d_1,d_2\ldots d_n\}\) 是度数对角阵。

对于边 \(e=(x,y)\) 定义 \(L_{e}\) 是 \(L_e[x,y]=L_e[y,x]=1\)，\(L_e[x,x]=L_e[y,y]=-1\)，其余为 \(0\) 的矩阵。那么有

\[L=\sum_{e\in E(G)} L_e \]

类似 \(A\)，可以将 \(L\) 视为所有边相加得到的图。这个形式对于 \(L\) 的二次型非常有用，有如下形式：

\[x^\intercal Lx=\sum_{e\in E(G)} x^\intercal L_e x=\sum_{e=(i,j)\in E(G)} (x_i-x_j)^2 \]

由上式立刻得到 \(L\succeq 0\) 为半正定矩阵，列举特征值将有 \(0= \lambda_1\le \lambda_2\cdots \lambda_n\)。

特征值

\(\bold 1\) 是 \(L\) 的一个特征向量，对应特征值为 \(0\)。即 \(L\bold 1=\bold 0\)

证明：拆开即得。

\(G\) 连通，当且仅当 \(L\) 的特征值 \(0\) 重数为 \(1\)。

"\(\Leftarrow\)"：

假设 \(G\) 不连通，则 \(L\) 可以写成 \(\begin{bmatrix}B & 0 \\ 0 & C\end{bmatrix}\)。注意到至少存在两个属于特征值 \(0\) 的特征向量\(\begin{bmatrix}\bold 1\\ \bold0\end{bmatrix}\) 和\(\begin{bmatrix}\bold 0\\ \bold1\end{bmatrix}\)

"\(\Rightarrow\)"：

已知 \(G\) 连通，那么取属于 \(0\) 的特征值 \(x\)，有 \(x^\intercal Lx=\sum_{(i,j)\in E(G)} (x_i-x_j)^2=0\)。这说明 \(\forall (i,j)\in E(G)\) 都有 \(x_i=x_j\)，由连通性立即得到 \(x=k\bold1\)，即重数为 \(1\)。

结合半正定性立即有 \(0=\lambda_1< \lambda_2\le \cdots \lambda_n\)，也就是 \(G\) 连通当且仅当 \(\lambda_2>0\)

剩下的咕咕咕