形式语义02 Math

Basic Set Theory

没啥好讲的

\(\bigcap S=\left\{\;x\;|\; \forall T\in S,x\in T \;\right\}\)

记 \(R=\bigcap\emptyset\)，则 \(\forall x. \forall T\in\emptyset\wedge x\in T\rightarrow x\in R\)

注意到命题的前件为假，因此 \(R\) 是"a set of everything"

根据幂集公理这是不成立的，因此我们规定它无意义。

Relations

没啥好讲的

Functions

\(f\subseteq D(f)\times R(f)\)，且 \(\forall x,y,y'\)，\((x,y)\in f\wedge (x,y')\in f\Rightarrow y=y'\)

Total Functions \(f\) on \(A\times B\)

\(A=D(f)\)

Partial Functions \(f\) on \(A\times B\)

\(D(f)\subseteq A\)

\(\lambda\)-Expression

\(\lambda x\in D. f(x)\) 和 \(\left\{\;(x,f(x))\;|\;x\in D\;\right\}\) 是等价的

Function Variant

我们用 \(f\left\{x\leadsto y\right\}\) 记号表示 \(f\cup (x,y)\) 这个新的函数，此处的 \(x\in D(f)\) 不一定成立

显然 \(D(f\left\{x\leadsto y\right\})=D(f)\cup\left\{\;x\;\right\}\)

Function Type

我们用 \(A\rightarrow B\) 表示 \(A\mapsto B\) 的所有函数，且规定 \(\rightarrow\) 右结合

即 \(A\rightarrow B\rightarrow C=A\rightarrow (B\rightarrow C)\) ，表明这是一个 \(A\times B\mapsto C\) 的函数，或者 \(A\mapsto (B\mapsto C)\) 的函数

这里给出的 Function Type 默认是对应集合的 Total Function.

很显然 \(A_1\mapsto A_2\mapsto \cdots\mapsto A_n\mapsto R\) 的表达能力要强于 \(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\mapsto R\)，即我们可以先后给出参数

表达能力的弱化无需额外做什么，而强化则需要currying操作

Tuples as Functions

二元组 \((x,y),\, x,y\in D\) 可以看成是 \(\left\{\;0,1\;\right\}\mapsto D\) 的一个函数，即 \(f(0)=x,f(1)=y\)，\(D\times D\) 就可以看成是 \(\left\{\;0,1\;\right\}\mapsto D\) 的所有函数

形式化地写出来就是 \(A\times B=\left\{\;f\;|\;D(f)=\left\{\;0,1\;\right\}\wedge f(0)\in A\wedge f(1)\in B\;\right\}\)

于是自然，\(A_0\times A_1\times\cdots\times A_{n-1}\) 就可以看成是 \(\left\{\;0,1,2\ldots n-1\;\right\}\mapsto D\) 的所有函数，其中 \(D=\bigcup\limits_{i=0}^{n-1} A_i\)

写出来就是 \(\prod\limits_{i=0}^{n-1} A_i=\left\{\;f\;|\;D(f)=[0..n-1]\wedge\forall i\in[0..n-1].f(i)\in A_i\;\right\}\)

再进一步就是 \(\prod\limits_{i\in I}S_i=\left\{\;f\;|\;D(f)=I\wedge\forall i\in I.f(i)\in S_i\;\right\}\)

Product of Functions

现在，我们令 \(\theta: \alpha\mapsto \left\{\;S_\alpha\;\right\}\)，即是以 \(\alpha\) 为指标集的一个集合族，\(\theta\) 将一个下标映射到集合族里对应下标的某个集合

我们同样可以定义 \(\theta\) 上的乘积(product)

即 \(\sqcap\theta=\left\{\;f\;|\;D(f)=\alpha\wedge \forall x\in\alpha.f(x)\in\theta(x)\;\right\}\)，其中 \(\alpha=D(\theta),\;\theta(x)=S_x\)

当 \(\theta\) 是常函数时，\(\forall x. \theta(x)=S\)，那么 \(\sqcup\theta=\left\{\;f\;|\;D(f)=\alpha\wedge\forall x\in\alpha. f(x)\in S\;\right\}=\prod\limits_{i\in\alpha}S=S^\alpha=\left\{\;f\;|\;f:\alpha\mapsto S\;\right\}\)

大概的意思是说，我们有一个定义域 \(\alpha\) 到若干集合的映射 \(\theta\)，现在把每个 \(\alpha\) 中的元素 \(x\) 的像限制到 \(\theta(x)\) 里的一个具体元素，就可以得到一个具体的 \(D(\theta)\rightarrow \bigcup R(\theta)\) 函数。如果我们取遍所有可能的像，那么就恰好遍历完了所有这样的函数。

具体到程序设计语言，就是若干个 Type 经过这样的操作，就可以得到一个 Product Type. 即我们把一个 Type 看成是一个单点函数的集合，那么就可以通过简单的 Product 操作复合得到新的 Type.

Sum of Functions

对于任意集合 \(A,B\)，规定

\(A+B=\left\{\;0\;\right\}\times A\cup\left\{\;1\;\right\}\times B\)

称 \(A+B\) 为 \(A,B\) 的不交并。

自然就有 \(\sum\limits_{i\in \alpha} S(i)=\left\{\;(i,x)\;|\;i\in\alpha\wedge x\in S(i)\;\right\}\)

同样的，如果我们把 \(\theta\) 看作是 \(\alpha\rightarrow \bigcup\limits_{i\in\alpha}S(i)\)，那么就有 \(\Sigma\theta=\left\{\;(i,x)\;|\;i\in\alpha\wedge x\in S(i)\;\right\}\)

当 \(\theta\) 是常函数 \(\theta(i)=S\) 的时候，\(\Sigma\theta=\sum\limits_{x\in\alpha}S=\left\{\;(x,y)\;|\;x\in\alpha\wedge y\in S\;\right\}=\alpha\times S=\alpha\rightarrow S\)

这个的意思是，我们可以通过若干 Type 得到 Sum Type，新的 Sum Type 中的变量只能是组成它的若干 Type 中的某一个。

感想

写着写着就突然悟了，注意到一个编程语言中的类型可以看成是值域 \(R\) 构成的集合

而带类型的变量可以看成是单点函数的集合 \(\left\{\;f\;|\;f:\left\{\;var\;\right\}\rightarrow R\;\right\}\)，变量的一个具体取值则对应一个具体的单点函数。需要说明的是，我们这里不妨规定变量两两不重名(否则可以很容易用自然数命名而不改变程序的行为)

那么上面说的 Sum 和 Product 实际上就是通过简单类型构造出复杂类型的两类方法

而我们知道，一个程序的所有状态由所有变量的取值组成，那么一个程序的特定状态就可以表达成一个具体的函数 \(P:\left\{\;\;|\;x\text{ is variable}\;\right\}\)