7.10——875F

875F

由于最近在学树上背包，因此今天挑了一道树上背包的题来做。没想到这么难qwq。。。

任意一条路径的权值只有三种情况：

• 全0 \(\Rightarrow\) 1
• 全1 \(\Rightarrow\) 0
• 既有0又有1 \(\Rightarrow\) 2

最优答案显然是所有路径 \(MEX\) 均为 \(2\) -> 答案上界为 \(n(n+1)\)。

考虑将计算最大价值转化为计算最小折损：记录初始答案为 \(n(n+1)\)。折损只会在同色连通块内发生，且计算折损的方式为：

• 大小为 \(x\) 的全 \(0\) 连通块，折损为 \(x*(x+1)/2\)。
• 大小为 \(x\) 的全 \(1\) 连通块，折损为 \(x*(x+1)\)。

一个看似很好的贪心想法——交替涂01。这样可以让所有长度 \(>1\) 的路径权值均为 \(2\)，而只有长度为 \(1\)（即孤点）存在折损。此时贡献为：\(n(n+1) - cnt_{0} - 2cnt_{1}\)。

由于 \(cnt_{0} + cnt_{1} = n\)，因此若将交替涂色的折损看做 \(cnt_{0} + 2cnt_{1}\)，则最大折损 \(<=2n\)。

只有当路径上颜色均一样时才会存在折损，考虑树中最大连通块的大小：设为 \(k\)，则该连通块造成的折损至少为：\(k*(k+1)/2\)（全0为 \(k*(k+1)/2\)，全1为 \(k*(k+1)\)）。由于已经存在了一种最小折损为 \(O(n)\) 数量级的方案，因此可以说明 \(k\) 是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，即树中同色的最大连通块大小大约为 \(O(\sqrt n)\)。

考虑 \(O(n\sqrt n)\) 的算法：

设 \(f[u][0/1][j]\)：考虑子树 \(u\)，\(u\) 填0/1，且 \(u\) 所在的同色连通块大小为 \(j\)，总折损最小值。

假设当前正在遍历 \(u\) 的某个儿子 \(v\)，考虑将已遍历的子树 \(u\) 和正在遍历的子树 \(v\) 合并：

1. \(u\) 与 \(v\) 数字不同：显然合并两个连通块，连通块1中的任意点 \(a\) 和 连通块2中的任意点 \(b\) 均不会产生新的折损。因此合并后子树的折损为两棵子树内部的折损之和：

• u = 0, v = 1:

\[f[u][0][i] = f[u][0][i] + f[v][1][j] \]

• u = 1, v = 0:

\[f[u][1][i] = f[u][1][i] + f[v][1][j] \]

2. \(u\) 与 \(v\) 数字相同：此时合并两个连通块，\(u\) 所在的同色连通块 和 \(v\) 所在的同色连通块 的任意两点之间会产生新的折损，两棵子树合并后需要将其计入到总折损中：

• u = 0, v = 0: 新折损为 \(i * j\)

\[f[u][0][i + j] = f[u][0][i] + f[v][0][j] + i * j \]

• u = 1, v = 1: 新折损为 \(2 * i * j\)

\[f[u][1][i + j] = f[u][1][i] + f[v][1][j] + 2 * i * j \]

上述四种转移同时进行即可，注意需要使用辅助数组 \(g[0/1][i]\) 进行辅助转移。

此题卡空间，可能需要空间压缩上的代码重构。但不想浪费时间再调了，样例过了就是过了!（叉腰）

code