函数连续性误区

一元函数连续性定义的问题：

遇到一道题，问题是：若函数\(f\)在\(x=a\)处连续，则在a的某个去心邻域内，\(f(x)\)连续，是否正确。

这是一个乍一看好像正确的结论。函数在某点连续，则该点附近的函数值都与他相近，这些点连起来就连续了。

但是，这个结论是错误的。

重新回顾函数在某点连续的定义：

若函数\(f\)在\(x=a\)处连续，则对于任意小的正数\(\epsilon\)，存在一个正数\(\delta\)，使得当\(x\)在\((a-\delta,a+\delta)\)内时，\(|f(x)-f(a)|<\epsilon\)。

(
As a practical matter, \(f\) is continuous at c if all the values of f at points near
c are very nearly \(f(c)\).
This leads to a useful observation about continuity: If f is continuous at c and
\(f(c)\) < \(m\), then it is also true that \(f(x)\) < \(m\) for every \(x\) in some sufficiently small
interval around c. To see this, take ε to be the distance between \(f(c)\) and \(m\).
Similarly, if $ f(c) \(>\) m$, there is an entire interval of
numbers \(x\) around c where \(f(x)\) > \(m\).
)

也就是说，在a附近的其他点的函数值与a的差值在某个极小的范围内。这是一个保差值上限的定义。

例如狄利克雷函数：

\[g(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \text{ 是有理数} \\ 0, & \text{if } x \text{ 是无理数} \end{cases} \]

令$$f(x)=xg(x)$$

\(f(x)\)在x=0处连续。因为给定任意精度区间\((-\epsilon,\epsilon)\)，当\(0<|x|<\epsilon\) 时，\(f(x)\)的值都任意精度接近0。

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \begin{cases} {x\to 0}, & \text{if } x \text{ 是有理数} \\ 0, & \text{if } x \text{ 是无理数} \end{cases} \]

而在\(x_0≠0\)时，给定任意精度区间\((-\epsilon,\epsilon)\)，当\(0<|x-x_0|<\epsilon\) 时，\(f(x)\)的值都不能任意精度接近\(x_0\)。

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = \begin{cases} x_0≠0, & \text{if } x \text{ 是有理数} \\ 0, & \text{if } x \text{ 是无理数} \end{cases} \]

也就是任意无理数点处，他们与\(f(x_0)\)的差值都是\(x_0\),而不满足“任意精度”